La fórmula de Feynman-Kac, que lleva el nombre de Richard Feynman y Mark Kac , establece un vínculo entre las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas (PDE) y los procesos estocásticos . En 1947, cuando Kac y Feynman estaban en la facultad de Cornell, Kac asistió a una presentación de Feynman y comentó que los dos estaban trabajando en lo mismo desde diferentes direcciones. [1] Resultó la fórmula de Feynman-Kac, que demuestra rigurosamente el caso real de las integrales de trayectoria de Feynman. El caso complejo, que ocurre cuando se incluye el giro de una partícula, aún no está probado. [2]
Ofrece un método para resolver ciertas ecuaciones diferenciales parciales simulando caminos aleatorios de un proceso estocástico. A la inversa, una clase importante de expectativas de procesos aleatorios puede calcularse mediante métodos deterministas.
Teorema
Considere la ecuación diferencial parcial
definido para todos y , sujeto a la condición terminal
donde μ, σ, ψ, V , f son funciones conocidas, T es un parámetro yes lo desconocido. Entonces, la fórmula de Feynman-Kac nos dice que la solución se puede escribir como una expectativa condicional
bajo la medida de probabilidad Q tal que X es un proceso Itô impulsado por la ecuación
con W Q ( t ) es un proceso de Wiener (también llamado movimiento browniano ) bajo Q , y la condición inicial para X ( t ) es X (t) = x .
Prueba parcial
Una prueba de que la fórmula anterior es una solución de la ecuación diferencial es larga, difícil y no se presenta aquí. Sin embargo, es razonablemente sencillo demostrar que, si existe una solución , debe tener la forma anterior. La prueba de ese menor resultado es la siguiente:
Sea u ( x , t ) la solución de la ecuación diferencial parcial anterior. Aplicar la regla de producto para los procesos de Itô al proceso
uno obtiene
Desde
el tercer término es y se puede dejar caer. Tambien tenemos eso
Aplicando el lema de Itô a , resulta que
El primer término contiene, entre paréntesis, la ecuación diferencial parcial anterior y, por lo tanto, es cero. Lo que queda es
Integrando esta ecuación de t a T , se concluye que
Al tomar expectativas, condicionadas a X t = x , y observar que el lado derecho es una integral de Itô , que tiene expectativa cero, [3] se sigue que
El resultado deseado se obtiene observando que
y finalmente
Observaciones
- La prueba anterior de que una solución debe tener la forma dada es esencialmente la de [4] con modificaciones para tener en cuenta.
- La fórmula de expectativa anterior también es válida para difusiones Itô N -dimensionales. La ecuación diferencial parcial correspondiente parase convierte en: [5]
- dónde,
- es decir , dónde denota la transposición de .
- Esta expectativa puede luego aproximarse utilizando métodos de Monte Carlo o cuasi Monte Carlo .
- Cuando fue publicada originalmente por Kac en 1949, [6] la fórmula de Feynman-Kac se presentó como una fórmula para determinar la distribución de ciertos funcionales de Wiener. Supongamos que deseamos encontrar el valor esperado de la función
- en el caso donde x (τ) es alguna realización de un proceso de difusión que comienza en x (0) = 0. La fórmula de Feynman-Kac dice que esta expectativa es equivalente a la integral de una solución a una ecuación de difusión. Específicamente, bajo las condiciones que ,
- donde w ( x , 0) = δ ( x ) y
- La fórmula de Feynman-Kac también se puede interpretar como un método para evaluar integrales funcionales de cierta forma. Si
- donde la integral se toma sobre todos los paseos aleatorios , entonces
- donde w ( x , t ) es una solución a la ecuación diferencial parcial parabólica
- con condición inicial w ( x , 0) = f ( x ).
Aplicaciones
En las finanzas cuantitativas , la fórmula de Feynman-Kac se utiliza para calcular de manera eficiente las soluciones a la ecuación de Black-Scholes para fijar el precio de las opciones sobre acciones. [7]
En química cuántica , se utiliza para resolver la ecuación de Schrödinger con el método Pure Diffusion Monte Carlo. [8]
Ver también
- El lema de Itô
- Desigualdad de Kunita-Watanabe
- Teorema de girsanov
- Ecuación directa de Kolmogorov (también conocida como ecuación de Fokker-Planck)
Referencias
- ^ Kac, Mark (1987). Enigmas of Chance: An Autobiography . Prensa de la Universidad de California. págs. 115-16. ISBN 0-520-05986-7.
- ^ Glimm, James; Jaffe, Arthur (1987). Física cuántica: un punto de vista funcional integral (2 ed.). Nueva York, NY: Springer. págs. 43–44. ISBN 978-0-387-96476-8. Consultado el 13 de abril de 2021 .
- ^ Øksendal, Bernd (2003). "Teorema 3.2.1. (Iii)". Ecuaciones diferenciales estocásticas. Una introducción con aplicaciones (6ª ed.). Springer-Verlag. pag. 30. ISBN 3540047581.
- ^ http://www.math.nyu.edu/faculty/kohn/pde_finance.html
- ^ Ver Pham, Huyên (2009). Control y optimización estocástica en tiempo continuo con aplicaciones financieras . Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-10044-4.
- ^ Kac, Mark (1949). "Sobre distribuciones de ciertas funciones de Wiener" . Transacciones de la American Mathematical Society . 65 (1): 1–13. doi : 10.2307 / 1990512 . JSTOR 1990512 . Este documento se reimprime en Baclawski, K .; Donsker, MD, eds. (1979). Mark Kac: Probabilidad, teoría de números y física estadística, artículos seleccionados . Cambridge, Massachusetts: The MIT Press. págs. 268–280. ISBN 0-262-11067-9.
- ^ Paolo Brandimarte (6 de junio de 2013). "Capítulo 1. Motivación". Métodos numéricos en finanzas y economía: una introducción basada en MATLAB . John Wiley e hijos. ISBN 978-1-118-62557-6.
- ^ Caffarel, Michel; Claverie, Pierre (15 de enero de 1988). "Desarrollo de un método de Monte Carlo cuántico de difusión pura utilizando una fórmula completa de Feynman-Kac generalizada. I. Formalismo" . La Revista de Física Química . 88 (2): 1088–1099. doi : 10.1063 / 1.454227 .
Otras lecturas
- Simon, Barry (1979). Integración funcional y física cuántica . Prensa académica.
- Hall, BC (2013). Teoría cuántica para matemáticos . Saltador.