En mecánica estadística , la ecuación de Fokker-Planck es una ecuación diferencial parcial que describe la evolución en el tiempo de la función de densidad de probabilidad de la velocidad de una partícula bajo la influencia de fuerzas de arrastre y fuerzas aleatorias, como en el movimiento browniano . La ecuación también se puede generalizar a otros observables. [1] Lleva el nombre de Adriaan Fokker y Max Planck , [2] [3] y también se conoce como la ecuación directa de Kolmogorov , en honor a Andrey Kolmogorov., quien descubrió de forma independiente el concepto en 1931. [4] Cuando se aplica a distribuciones de posición de partículas, se conoce mejor como la ecuación de Smoluchowski (después de Marian Smoluchowski ), y en este contexto es equivalente a la ecuación de convección-difusión . El caso con difusión cero se conoce en mecánica estadística como la ecuación de Liouville . La ecuación de Fokker-Planck se obtiene a partir de la ecuación maestra mediante la expansión de Kramers-Moyal .
La primera derivación microscópica consistente de la ecuación de Fokker-Planck en el esquema único de la mecánica cuántica y clásica fue realizada por Nikolay Bogoliubov y Nikolay Krylov . [5] [6]
La ecuación de Smoluchowski es la ecuación de Fokker-Planck para la función de densidad de probabilidad de las posiciones de las partículas brownianas. [7]
Una dimensión
En una dimensión espacial x , para un proceso Itô impulsado por el proceso estándar de Wiener y descrito por la ecuación diferencial estocástica (SDE)
con deriva y coeficiente de difusión, la ecuación de Fokker-Planck para la densidad de probabilidad de la variable aleatoria es
A continuación, utilice .
Definir el generador infinitesimal (lo siguiente se puede encontrar en la Ref. [8] ):
La probabilidad de transición , la probabilidad de pasar de a , se introduce aquí; la expectativa se puede escribir como
Ahora reemplazamos en la definición de , multiplicar por e integrar sobre . El límite está asumido
Note ahora que
que es el teorema de Chapman-Kolmogorov. Cambiar la variable ficticia a , uno obtiene
que es una derivada del tiempo. Finalmente llegamos a
A partir de aquí, se puede deducir la ecuación hacia atrás de Kolmogorov. Si en cambio usamos el operador adjunto de, , definido de tal manera que
luego llegamos a la ecuación directa de Kolmogorov, o ecuación de Fokker-Planck, que, simplificando la notación , en su forma diferencial se lee
Sigue siendo la cuestión de definir explícitamente . Esto se puede hacer tomando la expectativa de la forma integral del lema de Itô :
La parte que depende de desapareció debido a la propiedad de martingala.
Luego, para una partícula sujeta a una ecuación de Itô, usando
se puede calcular fácilmente, utilizando la integración por partes, que
lo que nos lleva a la ecuación de Fokker-Planck:
Si bien la ecuación de Fokker-Planck se usa con problemas donde se conoce la distribución inicial, si el problema es conocer la distribución en tiempos anteriores, se puede usar la fórmula de Feynman-Kac , que es una consecuencia de la ecuación hacia atrás de Kolmogorov.
El proceso estocástico definido anteriormente en el sentido de Itô se puede reescribir dentro de la convención de Stratonovich como un SDE de Stratonovich:
Incluye un término de deriva adicional inducido por ruido debido a los efectos del gradiente de difusión si el ruido depende del estado. Esta convención se usa con más frecuencia en aplicaciones físicas. De hecho, es bien sabido que cualquier solución al Stratonovich SDE es una solución al Itô SDE.
La ecuación de deriva cero con difusión constante se puede considerar como un modelo de movimiento browniano clásico :
Este modelo tiene un espectro discreto de soluciones si se agrega la condición de límites fijos para :
Se ha demostrado [9] que en este caso un espectro analítico de soluciones permite derivar una relación de incertidumbre local para el volumen de fase de coordenadas-velocidad:
Aquí es un valor mínimo de un espectro de difusión correspondiente , tiempo y representan la incertidumbre de la definición de velocidad de coordenadas.
Mayores dimensiones
De manera más general, si
dónde y son vectores aleatorios N -dimensionales ,es una NMatriz M yes un proceso de Wiener estándar M -dimensional , la densidad de probabilidad por satisface la ecuación de Fokker-Planck
con vector de deriva y tensor de difusión , es decir
Si en lugar de un Itô SDE, se considera un Stratonovich SDE ,
la ecuación de Fokker-Planck dirá: [8] : 129
Ejemplos de
Proceso de salchicha
Un proceso de Wiener escalar estándar se genera mediante la ecuación diferencial estocástica
Aquí el término de deriva es cero y el coeficiente de difusión es 1/2. Por lo tanto, la ecuación de Fokker-Planck correspondiente es
que es la forma más simple de una ecuación de difusión . Si la condición inicial es, la solucion es
Proceso de Ornstein-Uhlenbeck
El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un proceso definido como
- .
con . Físicamente, esta ecuación se puede motivar de la siguiente manera: una partícula de masa con velocidad moverse en un medio, por ejemplo, un fluido, experimentará una fuerza de fricción que resiste el movimiento cuya magnitud se puede aproximar como proporcional a la velocidad de la partícula con . Otras partículas en el medio patearán aleatoriamente la partícula al chocar con ella y este efecto puede aproximarse mediante un término de ruido blanco;. La segunda ley de Newton se escribe como
Tomando para simplificar y cambiar la notación como conduce a la forma familiar .
La ecuación de Fokker-Planck correspondiente es
La solución estacionaria () es
Física del plasma
En física del plasma, la función de distribución de una especie de partícula, , ocupa el lugar de la función de densidad de probabilidad . La ecuación de Boltzmann correspondiente está dada por
donde el tercer término incluye la aceleración de las partículas debido a la fuerza de Lorentz y el término de Fokker-Planck en el lado derecho representa los efectos de las colisiones de partículas. Las cantidades y son el cambio promedio en la velocidad de una partícula de tipo experiencias debidas a colisiones con todas las demás especies de partículas en unidad de tiempo. Las expresiones para estas cantidades se dan en otra parte. [10] Si se ignoran las colisiones, la ecuación de Boltzmann se reduce a la ecuación de Vlasov .
Ecuación de difusión de Smoluchowski [11]
La ecuación de difusión de Smoluchowski es la ecuación de Fokker-Planck restringida a partículas brownianas afectadas por una fuerza externa .
Dónde es la constante de difusión y . La importancia de esta ecuación es que permite tanto la inclusión del efecto de la temperatura en el sistema de partículas como una constante de difusión espacialmente dependiente.
Comenzando con la ecuación de Langevin de una partícula browniana en campo externo, dónde es el término de fricción, es una fuerza fluctuante sobre la partícula, y es la amplitud de la fluctuación.
En el equilibrio, la fuerza de fricción es mucho mayor que la fuerza de inercia, . Por lo tanto, la ecuación de Langevin se convierte en,
Lo que genera la siguiente ecuación de Fokker-Planck,
Reordenando la ecuación de Fokker-Planck,
Dónde . Tenga en cuenta que el coeficiente de difusión puede no ser necesariamente espacialmente independiente si o son espacialmente dependientes.
A continuación, el número total de partículas en cualquier volumen particular viene dado por,
Por lo tanto, el flujo de partículas se puede determinar tomando la derivada en el tiempo del número de partículas en un volumen dado, introduciendo la ecuación de Fokker-Planck y luego aplicando el teorema de Gauss .
En equilibrio, se supone que el flujo llega a cero. Por lo tanto, las estadísticas de Boltzmann se pueden aplicar para la probabilidad de ubicación de partículas en equilibrio, donde es una fuerza conservadora y la probabilidad de que una partícula esté en un estado se da como .
Esta relación es una realización del teorema de fluctuación-disipación . Ahora aplicando a y usando el teorema de fluctuación-disipación,
Reorganizando,
Por lo tanto, la ecuación de Fokker-Planck se convierte en la ecuación de Smoluchowski,
Por una fuerza arbitraria .
Consideraciones computacionales
El movimiento browniano sigue la ecuación de Langevin , que puede resolverse para muchos forzamientos estocásticos diferentes con resultados promediados (conjunto canónico en dinámica molecular ). Sin embargo, en lugar de este enfoque computacionalmente intensivo, se puede usar la ecuación de Fokker-Planck y considerar la probabilidad de la partícula que tiene una velocidad en el intervalo cuando comienza su movimiento con en el tiempo 0.
Ejemplo de potencial lineal 1-D [11] [12]
Teoría
Comenzando con un potencial lineal de la forma la ecuación de Smoluchowski correspondiente se convierte en,
Donde la difusión constante, , es constante en el espacio y el tiempo. Las condiciones de contorno son tales que la probabilidad se desvanece en con una condición inicial del conjunto de partículas que comienzan en el mismo lugar, .
Definiendo y y aplicando la transformación de coordenadas,
Con la ecuación de Smoluchowki se convierte en,
Cuál es la ecuación de difusión libre con solución,
Y después de transformarse de nuevo a las coordenadas originales,
Simulación [13] [14]
La simulación de la derecha se completó utilizando una simulación de dinámica browniana . Comenzando con una ecuación de Langevin para el sistema,
Dónde es el término de fricción, es una fuerza fluctuante sobre la partícula, y es la amplitud de la fluctuación. En el equilibrio, la fuerza de fricción es mucho mayor que la fuerza de inercia,. Por lo tanto, la ecuación de Langevin se convierte en,
Para la simulación dinámica browniana, la fuerza de fluctuación se supone que es gaussiano y la amplitud depende de la temperatura del sistema . Reescribiendo la ecuación de Langevin,
Dónde es la relación de Einstein. La integración de esta ecuación se realizó utilizando el método de Euler-Maruyama para aproximar numéricamente la trayectoria de esta partícula browniana.
Solución
Al ser una ecuación diferencial parcial , la ecuación de Fokker-Planck se puede resolver analíticamente solo en casos especiales. Una analogía formal de la ecuación de Fokker-Planck con la ecuación de Schrödinger permite el uso de técnicas avanzadas de operador conocidas de la mecánica cuántica para su solución en varios casos. Además, en el caso de la dinámica sobreamortiguada cuando la ecuación de Fokker-Planck contiene segundas derivadas parciales con respecto a todas las variables espaciales, la ecuación se puede escribir en forma de una ecuación maestra que se puede resolver fácilmente numéricamente. [15] En muchas aplicaciones, a uno solo le interesa la distribución de probabilidad de estado estacionario, que se puede encontrar en . El cálculo de los tiempos medios del primer paso y las probabilidades de división se pueden reducir a la solución de una ecuación diferencial ordinaria que está íntimamente relacionada con la ecuación de Fokker-Planck.
Casos particulares con solución e inversión conocidas
En las finanzas matemáticas para el modelado de sonrisas de volatilidad de opciones a través de la volatilidad local , uno tiene el problema de derivar un coeficiente de difusión.coherente con una densidad de probabilidad obtenida de cotizaciones de opciones de mercado. Por lo tanto, el problema es una inversión de la ecuación de Fokker-Planck: dada la densidad f (x, t) de la opción subyacente X deducida del mercado de opciones, uno apunta a encontrar la volatilidad localconsistente con f . Este es un problema inverso que ha sido resuelto en general por Dupire (1994, 1997) con una solución no paramétrica. [16] [17] Brigo y Mercurio (2002, 2003) proponen una solución en forma paramétrica a través de una volatilidad local particularconsistente con una solución de la ecuación de Fokker-Planck dada por un modelo mixto . [18] [19] También hay más información disponible en Fengler (2008), [20] Gatheral (2008), [21] y Musiela y Rutkowski (2008). [22]
Ecuación de Fokker-Planck e integral de trayectoria
Cada ecuación de Fokker-Planck es equivalente a una integral de trayectoria . La formulación de ruta integral es un excelente punto de partida para la aplicación de métodos de teoría de campo. [23] Esto se utiliza, por ejemplo, en dinámica crítica .
Una derivación de la integral de trayectoria es posible de manera similar a la mecánica cuántica. La derivación de una ecuación de Fokker-Planck con una variablees como sigue. Comience insertando una función delta y luego integrando por partes:
La -Los derivados aquí solo actúan sobre el -función, no en . Integrar en un intervalo de tiempo,
Insertar la integral de Fourier
Para el -función,
Esta ecuación expresa como funcional de . Iterando veces y cumpliendo el límite da un camino integral con la acción
Las variables conjugar a se denominan "variables de respuesta". [24]
Aunque formalmente equivalentes, diferentes problemas pueden resolverse más fácilmente en la ecuación de Fokker-Planck o en la formulación de la integral de trayectoria. La distribución de equilibrio, por ejemplo, puede obtenerse más directamente de la ecuación de Fokker-Planck.
Ver también
- Ecuación al revés de Kolmogorov
- Ecuación de Boltzmann
- Ecuación de Vlasov
- Ecuación maestra
- Teoría de juegos de campo medio
- Jerarquía de ecuaciones de Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon
- Proceso de Ornstein-Uhlenbeck
- Ecuación de convección-difusión
notas y referencias
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Otras lecturas
- Frank, hasta Daniel (2005). Ecuaciones no lineales de Fokker-Planck: fundamentos y aplicaciones . Serie Springer en Sinergética. Saltador. ISBN 3-540-21264-7.
- Gardiner, Crispin (2009). Métodos estocásticos (4ª ed.). Saltador. ISBN 978-3-540-70712-7.
- Pavliotis, Grigorios A. (2014). Procesos estocásticos y aplicaciones: procesos de difusión, ecuaciones de Fokker-Planck y Langevin . Springer Texts in Applied Mathematics. Saltador. ISBN 978-1-4939-1322-0.
- Arriesgado, Hannes (1996). La ecuación de Fokker-Planck: métodos de soluciones y aplicaciones . Springer Series in Synergetics (2ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-61530-X.