En matemáticas, la fórmula de cuantificación de Kontsevich describe cómo construir un álgebra de operadores de productos ★ generalizada a partir de una variedad de Poisson de dimensión finita arbitraria dada . Este álgebra de operadores equivale a la cuantificación de deformaciones del álgebra de Poisson correspondiente. Se debe a Maxim Kontsevich . [1] [2]
Cuantización de deformaciones de un álgebra de Poisson
Dado un álgebra de Poisson ( A , {⋅, ⋅}) , una cuantificación de deformación es un producto unital asociativo ★ en el álgebra de series formales de potencias en ħ , A [[ ħ ]] , sujeto a los siguientes dos axiomas,
Si se le diera una variedad de Poisson ( M , {⋅, ⋅}) , se podría preguntar, además, que
donde los B k son operadores bi diferenciales lineales de grado k como máximo .
Se dice que dos deformaciones son equivalentes si están relacionadas por una transformación de calibre del tipo,
donde D n son operadores diferenciales de orden como máximo n . El correspondiente producto ★ inducido, ★ ′, es entonces
Para el ejemplo arquetípico, se puede considerar el producto original "Moyal-Weyl" ★ de Groenewold .
Gráficos de Kontsevich
Un gráfico de Kontsevich es un gráfico dirigido simple sin bucles en 2 vértices externos, etiquetados como f y g ; y n vértices internos, etiquetados Π . De cada vértice interno se originan dos aristas. Todas las (clases de equivalencia de) gráficos con n vértices internos se acumulan en el conjunto G n (2) .
Un ejemplo de dos vértices internos es el siguiente gráfico,
Operador bidiferencial asociado
Asociado a cada gráfico Γ , hay un operador bidiferencial B Γ ( f , g ) definido como sigue. Para cada borde hay una derivada parcial en el símbolo del vértice de destino. Se contrata con el índice correspondiente del símbolo fuente. El término para la gráfica Γ es el producto de todos sus símbolos junto con sus derivadas parciales. Aquí f y g representan funciones suaves en la variedad, y Π es el bivector de Poisson de la variedad de Poisson.
El término para el gráfico de ejemplo es
Peso asociado
Para sumar estos operadores bidiferenciales existen los pesos w Γ del gráfico Γ . En primer lugar, para cada gráfico hay una multiplicidad m (Γ) que cuenta cuántas configuraciones equivalentes hay para un gráfico. La regla es que la suma de las multiplicidades de todas las gráficas con n vértices internos es ( n ( n + 1)) n . El gráfico de muestra anterior tiene la multiplicidad m (Γ) = 8 . Para esto, es útil enumerar los vértices internos de 1 a n .
Para calcular el peso tenemos que integrar los productos del ángulo en el semiplano superior , H , como sigue. El semiplano superior es H ⊂ ℂ , dotado de una métrica
y, para dos puntos z , w ∈ H con z ≠ w , medimos el ángulo φ entre la geodésica de z a i ∞ y de z a w en sentido antihorario. Esto es
El dominio de integración es C n ( H ) el espacio
La fórmula asciende
- ,
donde t 1 ( j ) y t 2 ( j ) son el primer y segundo vértice objetivo del vértice interno j . Los vértices f y g están en las posiciones fijas 0 y 1 en H .
La formula
Dadas las tres definiciones anteriores, la fórmula de Kontsevich para un producto estrella es ahora
Fórmula explícita hasta segundo orden
Al hacer cumplir la asociatividad del producto ★, es sencillo verificar directamente que la fórmula de Kontsevich debe reducir, al segundo orden en ħ , a solo
Referencias
- ^ M. Kontsevich (2003), Cuantificación de deformaciones de los colectores de Poisson , Cartas de física matemática 66 , págs. 157-216.
- ^ Cattaneo, Alberto y Felder, Giovanni (2000). "Un enfoque integral de ruta de la fórmula de cuantificación de Kontsevich". Comunicaciones en Física Matemática . 212 (3): 591. arXiv : math / 9902090 . Código bibliográfico : 2000CMaPh.212..591C . doi : 10.1007 / s002200000229 .Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )