Teorema de Kerin-Milman

Encendido cuando un espacio es igual al casco convexo cerrado de sus puntos extremos

Dada una forma convexa (azul claro) y su conjunto de puntos extremos (rojo), el casco convexo de es${\displaystyle K}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle K.}$

En la teoría matemática del análisis funcional , el teorema de Kerin-Milman es una proposición sobre conjuntos convexos compactos en espacios vectoriales topológicos localmente convexos (TVS).

Teorema de Kerin-Milman  -  Un subconjunto convexo compacto de un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff es igual al casco convexo cerrado de sus puntos extremos .

Este teorema se generaliza a espacios infinitos y convexos compactos arbitrarios establece la siguiente observación básica: un triángulo convexo (es decir, "relleno"), incluyendo su perímetro y el área "dentro de él", es igual al casco convexo de sus tres vértices, donde estos vértices son exactamente los puntos extremos de esta forma. Esta observación también es válida para cualquier otro polígono convexo en el plano${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Declaración y definiciones

Preliminares y definiciones

A lo largo, será un espacio vectorial real o complejo.${\displaystyle X}$

Para cualquier elemento y en un espacio vectorial, el conjunto se llama${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle [x,y]:=\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\}}$segmento de lnea cerrada ointervalo cerradoentreyEl${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$segmento de línea abierta ointervalo abiertoentreyescuandomientras escuando; ^[1] satisfaceyLos puntosyse denominanpuntos finalesde estos intervalos. Se dice que un intervalo es${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,x):=\varnothing }$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle (x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t<1\}}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle (x,y)=[x,y]\setminus \{x,y\}}$${\displaystyle [x,y]=(x,y)\cup \{x,y\}.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$no degenerado oadecuadosi sus puntos finales son distintos.

Los intervalos y siempre contienen sus puntos finales mientras y nunca contienen ninguno de sus puntos finales. Si y son puntos en la línea real, entonces la definición anterior de es la misma que su definición habitual como intervalo cerrado . ${\displaystyle [x,x]=\{x\}}$${\displaystyle [x,y]}$${\displaystyle (x,x)=\varnothing }$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle [x,y]}$

Para cualquiera se dice que el punto (estrictamente)${\displaystyle p,x,y\in X,}$${\displaystyle p}$se encuentra entre ysipertenece al segmento de línea abierta ^[1]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (x,y).}$

Si es un subconjunto de y luego se llama punto extremo${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p\in K,}$${\displaystyle p}$de si no se encuentra entre dos puntos distintos de Es decir, si no existe y tal que y En este artículo, el conjunto de todos los puntos extremos de será denotado por ^[1]${\displaystyle K}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle x,y\in K}$${\displaystyle 0<t<1}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {extreme} (K).}$

Por ejemplo, los vértices de cualquier polígono convexo en el plano son los puntos extremos de ese polígono. Los puntos extremos del disco unitario cerrado en es el círculo unitario . Cada intervalo abierto e intervalo cerrado degenerado en no tiene puntos extremos, mientras que los puntos extremos de un intervalo cerrado no degenerado son y${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [x,y]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$

Un conjunto se llama convexo si para cualquier par de puntos contiene el segmento de línea El más pequeño conjunto convexo que contiene se llama el casco convexo de y se denota por el casco convexo cerrado de un conjunto denotado por es el más pequeño conjunto cerrado y convexo que contiene Es también igual a la intersección de todos los subconjuntos convexos cerrados que contienen y al cierre del casco convexo de ; es decir, ${\displaystyle S}$${\displaystyle x,y\in S,}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle [x,y].}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {co} S.}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(S),}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}(S)={\overline {\operatorname {co} (S)}},}$

donde el lado derecho denota el cierre de mientras que el lado izquierdo es notación. Por ejemplo, el casco convexo de cualquier conjunto de tres puntos distintos forma un triángulo sólido (es decir, "relleno"), incluido su perímetro. Y en el plano, el círculo unitario no es convexo, pero el disco unitario cerrado es convexo y, además, este disco es igual al casco convexo del círculo.${\displaystyle \operatorname {co} (S)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$

Declaración

Teorema de Kerin-Milman ^[1]  -  Suponga que es un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff y es un subconjunto compacto y convexo de Then es igual al casco convexo cerrado de sus puntos extremos : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle K~=~{\overline {\operatorname {co} }}\left(\operatorname {extreme} (K)\right).}$

Además, si entonces es igual al casco convexo cerrado de si y sólo si dónde está el cierre de${\displaystyle B\subseteq K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \operatorname {extreme} K\subseteq \operatorname {cl} B,}$${\displaystyle \operatorname {cl} B}$${\displaystyle B.}$

El casco convexo de los puntos extremos forma un subconjunto de, por lo que la carga principal de la prueba es mostrar que hay suficientes puntos extremos para que su casco convexo cubra todo${\displaystyle K}$${\displaystyle K.}$

Un corolario del teorema anterior, que también es llamado "el teorema de Kerin-Milman", es que cada subconjunto convexo compacto no vacío de un TVS localmente convexo de Hausdorff tiene puntos extremos; es decir, el conjunto de sus puntos extremos no está vacío. ^[1]

Un caso particular de este teorema , que se puede visualizar fácilmente, establece que dado un polígono convexo , las esquinas del polígono son todo lo que se necesita para recuperar la forma del polígono. El enunciado del teorema es falso si el polígono no es convexo, ya que entonces puede haber muchas formas de dibujar un polígono con puntos dados como esquinas.

Configuraciones más generales

El supuesto de convexidad local para el espacio ambiental es necesario, porque James Roberts ( 1977 ) construyó un contraejemplo para el espacio convexo no local donde ^[2] L p [ 0 , 1 ] {\displaystyle L^{p}[0,1]} ${\displaystyle 0<p<1.}$

La linealidad también es necesaria, porque la declaración falla para conjuntos convexos débilmente compactos en espacios CAT (0) , como lo demostró Nicolas Monod  ( 2016 ). ^[3] Sin embargo, Theo Buehler ( 2006 ) demostró que el teorema de Kerin-Milman es válido para espacios CAT (0) métricamente compactos. ^[4]

Resultados relacionados

Bajo los supuestos anteriores sobre si es un subconjunto de y el casco convexo cerrado de es todos, entonces cada punto extremo de pertenece al cierre de Este resultado se conoce como el inverso (parcial) de Milman al teorema de Kerin-Milman. ^[5]${\displaystyle K,}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T.}$

El teorema de Choquet-Bishop-de Leeuw establece que cada punto de es el baricentro de una medida de probabilidad apoyada en el conjunto de puntos extremos de${\displaystyle K}$${\displaystyle K.}$

Relación con el axioma de elección

El axioma de elección , o alguna versión más débil de él, es necesario para probar este teorema en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . A la inversa, este teorema junto con el teorema del ideal primo de Boole puede probar el axioma de elección. ^[6]

Historia

La declaración original probada por Mark Kerin y David Milman  ( 1940 ) era algo menos general que la forma aquí establecida. ^[7]

Anteriormente, Hermann Minkowski  ( 1911 ) demostró que si es tridimensional, entonces es igual al casco convexo del conjunto de sus puntos extremos. ^[8] Ernst Steinitz  ( 1916 ) amplió esta afirmación al caso de cualquier dimensión finita . ^[9] El teorema de Kerin-Milman generaliza esto a arbitrario localmente convexo ; sin embargo, para generalizar desde espacios de dimensión finita a infinita, es necesario utilizar el cierre.${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$

Ver también

• Teorema de Banach-Alaoglu  : la bola unitaria cerrada en el dual de un espacio vectorial normalizado es compacta en la topología débil *
• Teorema de Carathéodory (casco convexo)  - Punto en el casco convexo de un conjunto P en Rd, es la combinación convexa de d + 1 puntos en P
• Teoría de Choquet
• Teorema de Helly  - Teorema sobre las intersecciones de conjuntos convexos d-dimensionales
• Teorema de Radon  : dice que d + 2 puntos en d dimensiones se pueden dividir en dos subconjuntos cuyos cascos convexos se cruzan
• Lema de Shapley-Folkman  - Resultado en geometría convexa
• Espacio vectorial topológico: espacio  vectorial con una noción de proximidad

Citas

1. Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 275–339.
2. Roberts, J. (1977), "Un conjunto convexo compacto sin puntos extremos" , Studia Mathematica , 60 : 255-266
3. Monod, Nicolas (2016), "Puntos extremos en curvatura no positiva", Studia Mathematica , 234 : 265-270, arXiv : 1602.06752
4. Buehler, Theo (2006), El teorema de Kerin-Mil'man para espacios métricos con bicombing convexo , arXiv : math / 0604187
5. Milman, D. (1947), Характеристика экстремальных точек регулярно-выпуклого множества[Características de los puntos extremos de conjuntos regularmente convexos], Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso), 57 : 119-122
6. Bell, J .; Fremlin, David (1972). "Una forma geométrica del axioma de elección" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 77 (2): 167-170 . Consultado el 11 de junio de 2018 . Teorema 1.2. BPI [el teorema del ideal primo de Boole] & KM [Kerin-Milman] (*) [la bola unitaria del dual de un espacio vectorial normalizado tiene un punto extremo] .... Teorema 2.1. (*) AC [el axioma de la elección]. ${\displaystyle \implies }$${\displaystyle \implies }$
7. Kerin, Mark ; Milman, David (1940), "En puntos extremos de conjuntos convexos regulares" , Studia Mathematica , 9 : 133-138
8. Minkowski, Hermann (1911), Gesammelte Abhandlungen , 2 , Leipzig: Teubner, págs. 157-161
9. Steinitz, Ernst (1916), "Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme VI, VII", J. Reine Angew. Matemáticas. , 146 : 1–52; (ver pág.16)

Bibliografía

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Espacios vectoriales topológicos: la teoría sin condiciones de convexidad . Apuntes de clase en matemáticas. 639 . Berlín Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003 .
• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [ Espacios vectoriales topológicos: Capítulos 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlin Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190 .
• Paul E. Black, ed. (17 de diciembre de 2004). "punto extremo" . Diccionario de algoritmos y estructuras de datos . Instituto Nacional de Normas y Tecnología de EE. UU . Consultado el 24 de marzo de 2011 .
• Borowski, Ephraim J .; Borwein, Jonathan M. (1989). "punto extremo". Diccionario de matemáticas . Diccionario Collins. Harper Collins . ISBN 0-00-434347-6.
• Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098 .
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 159 . Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Señor  0248498 . OCLC  840293704 .
• Köthe, Gottfried (1979). Espacios vectoriales topológicos II . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 237 . Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC  180577972 .
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• NK Nikol'skij (Ed.). Análisis funcional I . Springer-Verlag, 1992.
• Robertson, Alex P .; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics . 53 . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• HL Royden, Análisis real . Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Nueva Jersey, 1988.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .

Este artículo incorpora material del teorema de Kerin-Milman en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .