Teorema de extensión de M. Riesz

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El teorema de extensión de M. Riesz es un teorema matemático , probado por Marcel Riesz ^[1] durante su estudio del problema de los momentos . ^[2]

Sea un espacio vectorial real , sea ​​un subespacio vectorial y sea ​​un cono convexo .${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle F \ subconjunto E}$${\ Displaystyle K \ subconjunto E}$

Un funcional lineal se llama - positivo , si solo toma valores no negativos en el cono :${\ Displaystyle \ phi: F \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K}$

Un funcional lineal se llama una extensión positiva de , si es idéntico al dominio de , y también devuelve un valor de al menos 0 para todos los puntos en el cono :${\ Displaystyle \ psi: E \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle K}$

En general, una funcional lineal positiva en no puede extenderse a una funcional lineal positiva en . Ya en dos dimensiones se obtiene un contraejemplo. Sea y sea ​​el eje-. El funcional positivo no puede extenderse a un funcional positivo en .${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {2}, \ K = \ {(x, y): y> 0 \} \ cup \ {(x, 0): x> 0 \},}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ phi (x, 0) = x}$${\ Displaystyle E}$

Sin embargo, la extensión existe bajo el supuesto adicional de que , a saber, para cada existe un tal que${\ Displaystyle E \ subconjunto K + F,}$${\ Displaystyle y \ en E,}$${\ Displaystyle x \ in F}$${\ Displaystyle yx \ in K.}$

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