El método de promedio Krylov-Bogolyubov ( método Krylov-Bogolyubov de promedio ) es un método matemático para el análisis aproximado de los procesos oscilante en la mecánica no lineales. [1] El método se basa en el principio de promediado cuando la ecuación diferencial exacta del movimiento se reemplaza por su versión promediada. El método lleva el nombre de Nikolay Krylov y Nikolay Bogoliubov .
Desde los trabajos de Gauss , Fatou , Delone , Hill se utilizaron varios esquemas de promediado para estudiar problemas de mecánica celeste . La importancia de la contribución de Krylov y Bogoliubov es que desarrollaron un enfoque de promediado general y demostraron que la solución del sistema promediado se aproxima a la dinámica exacta. [2] [3] [4]
Fondo
El promedio de Krylov-Bogoliubov se puede utilizar para aproximar problemas oscilatorios cuando falla una expansión de perturbación clásica. Se trata de problemas singulares de perturbación de tipo oscilatorio, por ejemplo, la corrección de Einstein a la precesión del perihelio de Mercurio . [5]
Derivación
El método trata con ecuaciones diferenciales en la forma
para una función suave f junto con las condiciones iniciales adecuadas. Se supone que el parámetro ε satisface
Si ε = 0 entonces la ecuación se convierte en la del oscilador armónico simple con forzamiento constante, y la solución general es
donde A y B se eligen para que coincidan con las condiciones iniciales. Se supone que la solución de la ecuación perturbada (cuando ε ≠ 0) toma la misma forma, pero ahora se permite que A y B varíen con t (y ε ). Si también se asume que
entonces se puede demostrar que A y B satisfacen la ecuación diferencial: [5]
dónde . Tenga en cuenta que esta ecuación sigue siendo exacta; todavía no se ha hecho una aproximación. El método de Krylov y Bogolyubov es señalar que las funciones A y B varían lentamente con el tiempo (en proporción a ε), por lo que su dependencia de se puede eliminar (aproximadamente) promediando en el lado derecho de la ecuación anterior:
dónde y se mantienen fijos durante la integración. Después de resolver este conjunto (posiblemente) más simple de ecuaciones diferenciales, la aproximación promedio de Krylov-Bogolyubov para la función original viene dada por
Se ha demostrado que esta aproximación satisface [6]
donde t satisface
para algunas constantes y , independiente de ε.
Referencias
- ^ Método de Krylov-Bogolyubov de promediar en Encyclopedia of Mathematics
- ^ NM Krylov; NN Bogolyubov (1935). Methodes Approchees de la mecanique non-lineaire dans leurs application a l'Aeetude de la perturbación des mouvements periodiques de divers phenomenes de resonance s'y rapportant (en francés). Kiev: Academia de Ciencias de Ucrania.
- ^ NM Krylov; NN Bogolyubov (1937). Introducción a la mecánica no lineal (en ruso). Kiev: Izd-vo AN SSSR.
- ^ NM Krylov; NN Bogolyubov (1947). Introducción a la mecánica no lineal . Princeton: Universidad de Princeton. Prensa. ISBN 9780691079851.
- ^ a b Smith, Donald (1985). Teoría de la perturbación singular . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-30042-8.
- ^ Bogoliubov, N. (1961). Métodos asintóticos en la teoría de oscilaciones no lineales . París: Gordon & Breach. ISBN 978-0-677-20050-7.