Lacunaridad , del latín lacuna , que significa "brecha" o "lago", es un término especializado en geometría que se refiere a una medida de cómo los patrones, especialmente los fractales , llenan el espacio, donde los patrones que tienen más o mayores espacios generalmente tienen una mayor lacunaridad. Más allá de ser una medida intuitiva de la falta de definición, la lacunaridad puede cuantificar características adicionales de patrones como la "invariancia rotacional" y, de manera más general, la heterogeneidad. [1] [2] [3]Esto se ilustra en la Figura 1 que muestra tres patrones fractales. Cuando se gira 90 °, los dos primeros patrones bastante homogéneos no parecen cambiar, pero la tercera figura más heterogénea sí cambia y tiene una lacunaridad correspondientemente mayor. La primera referencia al término en geometría se suele atribuir a Mandelbrot, quien, en 1983 o quizás ya en 1977, lo introdujo como, en esencia, un complemento del análisis fractal . [4] El análisis de lacunaridad se utiliza ahora para caracterizar patrones en una amplia variedad de campos y tiene aplicación en el análisis multifractal [5] [6] en particular (ver Aplicaciones ).
Midiendo la lacunaridad
En muchos patrones o conjuntos de datos, la lacunaridad no es fácilmente perceptible o cuantificable, por lo que se han desarrollado métodos asistidos por computadora para calcularla. Como una cantidad mensurable, la lacunaridad a menudo se denota en la literatura científica por las letras griegas o pero es importante señalar que no existe un estándar único y existen varios métodos diferentes para evaluar e interpretar la lacunaridad.
Lacunaridad de recuento de cajas
Un método bien conocido para determinar la lacunaridad de patrones extraídos de imágenes digitales utiliza el recuento de cajas , el mismo algoritmo esencial que se usa típicamente para algunos tipos de análisis fractal . [1] [4] Similar a mirar un portaobjetos a través de un microscopio con niveles cambiantes de aumento, los algoritmos de recuento de cajas observan una imagen digital desde muchos niveles de resolución para examinar cómo cambian ciertas características con el tamaño del elemento utilizado para inspeccionar el imagen. Básicamente, la disposición de los píxeles se mide utilizando elementos tradicionalmente cuadrados (es decir, en forma de caja) de un conjunto arbitrario de tamaños, denotados convencionalmente s. Para cada, el cuadro se coloca sucesivamente sobre toda la imagen y, cada vez que se coloca, se registra el número de píxeles que caen dentro del cuadro. [nota 1] En el recuento de cajas estándar , la caja de cada en se coloca como si fuera parte de una cuadrícula superpuesta sobre la imagen para que el cuadro no se superponga, pero en los algoritmos de cuadro deslizante, el cuadro se desliza sobre la imagen para que se superponga y la "Lacunaridad del cuadro deslizante" o SLac es calculado. [3] [7] La Figura 2 ilustra ambos tipos de recuento de cajas.
Cálculos a partir del recuento de cajas
Los datos recopilados para cada se manipulan para calcular la lacunaridad. Una medida, denotada aquí como, se encuentra a partir del coeficiente de variación (), calculada como la desviación estándar () dividido por la media (), para píxeles por cuadro. [1] [3] [6] Debido a que la forma en que se muestrea una imagen dependerá de la ubicación de inicio arbitraria, para cualquier imagen muestreada en cualquier habrá algún número) de posibles orientaciones, cada una denotada aquí por , que los datos se pueden recopilar, lo que puede tener efectos variables en la distribución medida de píxeles. [5] [nota 2] La ecuación 1 muestra el método básico de cálculo:
( 1 )
Distribuciones de probabilidad
Alternativamente, algunos métodos clasifican el número de píxeles contados en una distribución de probabilidad que tiene contenedores, y utilice los tamaños de contenedor (masas, ) y sus correspondientes probabilidades () calcular según las ecuaciones 2 a 5 :
( 2 )
( 3 )
( 4 )
( 5 )
Interpretando λ
Lacunaridad basada en se ha evaluado de varias formas, incluido el uso de la variación o el valor medio de para cada (ver Ecuación 6 ) y usando la variación o promedio de todas las cuadrículas (ver Ecuación 7 ). [1] [5] [7] [8]
( 6 )
( 7 )
Relación con la dimensión fractal
Los análisis de lacunaridad que utilizan los tipos de valores discutidos anteriormente han demostrado que los conjuntos de datos extraídos de fractales densos, de patrones que cambian poco cuando se rotan, o de patrones que son homogéneos, tienen una lacunaridad baja, pero a medida que estas características aumentan, [se necesita aclaración ] por lo general hace la lacunaridad. En algunos casos, se ha demostrado que las dimensiones fractales y los valores de la lacunaridad estaban correlacionados, [1] pero investigaciones más recientes han demostrado que esta relación no es válida para todos los tipos de patrones y medidas de la lacunaridad. [5] De hecho, como Mandelbrot propuso originalmente, se ha demostrado que la lacunaridad es útil para discernir entre patrones (por ejemplo, fractales, texturas, etc.) que comparten o tienen dimensiones fractales similares en una variedad de campos científicos, incluida la neurociencia. [8]
Lacunaridad gráfica
Otros métodos para evaluar la lacunaridad a partir de los datos del recuento de cajas utilizan la relación entre los valores de la lacunaridad (p. Ej., ) y de diferentes formas a las indicadas anteriormente. Uno de esos métodos analiza el vs gráfico de estos valores. De acuerdo con este método, la curva en sí se puede analizar visualmente, o la pendiente en se puede calcular a partir de la vs línea de regresión. [3] [7] Debido a que tienden a comportarse de ciertas formas para patrones mono, multi y no fractales, respectivamente, vs Se han utilizado gráficos de lacunaridad para complementar los métodos de clasificación de dichos patrones. [5] [8]
Para hacer los gráficos para este tipo de análisis, los datos del recuento de cajas primero deben transformarse como en la Ecuación 9 :
( 9 )
Esta transformación evita valores indefinidos, lo cual es importante porque las imágenes homogéneas tendrán en algún igual a 0 de modo que la pendiente del vs La línea de regresión sería imposible de encontrar. Con, las imágenes homogéneas tienen una pendiente de 0, lo que corresponde intuitivamente a la idea de que no hay invariancia rotacional o traslacional ni huecos. [9]
Una técnica de recuento de cajas que utiliza una caja "deslizante" calcula la lacunaridad de acuerdo con:
( 10 )
es el número de puntos de datos llenos en el cuadro y la distribución de frecuencia normalizada de para diferentes tamaños de caja.
Lacunaridad prefactora
Otra forma propuesta de evaluar la lacunaridad mediante el recuento de cajas, el método Prefactor , se basa en el valor obtenido del recuento de cajas para la dimensión fractal (). Esta estadística usa la variable de la regla de escala , dónde se calcula a partir de la intersección con el eje y () de la línea de regresión ln-ln para y el recuento () de cuadros que tenían píxeles o de lo contrario a . se ve particularmente afectado por el tamaño de la imagen y la forma en que se recopilan los datos, especialmente por el límite inferior de s utilizado. La medida final se calcula como se muestra en las ecuaciones 11 a 13 : [1] [4]
( 11 )
( 12 )
( 13 )
Aplicaciones
A continuación se muestra una lista de algunos campos en los que la lacunaridad juega un papel importante, junto con enlaces a investigaciones relevantes que ilustran los usos prácticos de la lacunaridad.
- Ecología [2]
- Física [10]
- Arqueología [11]
- Imágenes médicas [6] [12]
- Análisis espacial urbano [13] [14]
- Estudios sísmicos [15]
- Odontología [16]
- Ciencias alimentarias [17]
Notas
- ^ Esto contrasta con elanálisis fractal de recuento de cajas en el que se cuentael número total de cajas que contenían píxeles para determinar una dimensión fractal.
- ^ Consulte FracLac , recuento de cajas para obtener una explicación de los métodos para abordar la variación con la ubicación de la cuadrícula
Referencias
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( ayuda )
enlaces externos
- "Guía del usuario de FracLac" . Una guía en línea para la teoría y el análisis de la lacunaridad utilizando software de imágenes biológicas de código abierto y gratuito.