Las estructuras coherentes lagrangianas ( LCS ) son superficies distinguidas de trayectorias en un sistema dinámico que ejercen una gran influencia en las trayectorias cercanas durante un intervalo de tiempo de interés. [1] [2] [3] El tipo de esta influencia puede variar, pero invariablemente crea un patrón de trayectoria coherente para el cual el LCS subyacente sirve como pieza central teórica. En las observaciones de patrones de trazadores en la naturaleza, uno identifica fácilmente características coherentes, pero a menudo es la estructura subyacente que crea estas características lo que interesa.
Como se ilustra a la derecha, las trayectorias de los trazadores individuales que forman patrones coherentes son generalmente sensibles con respecto a los cambios en sus condiciones iniciales y los parámetros del sistema. Por el contrario, los LCS que crean estos patrones de trayectoria resultan ser robustos y proporcionan un esqueleto simplificado de la dinámica general del sistema. [3] [4] [5] La solidez de este esqueleto hace que los LCS sean herramientas ideales para la validación de modelos, la comparación de modelos y la evaluación comparativa. Los LCS también se pueden utilizar para proyectar ahora e incluso para pronósticos a corto plazo de la evolución de patrones en sistemas dinámicos complejos.
Los fenómenos físicos regidos por LCS incluyen escombros flotantes, derrames de petróleo, [6] vagabundos superficiales [7] [8] y patrones de clorofila [9] en el océano; nubes de ceniza volcánica [10] y esporas en la atmósfera; [11] y patrones de multitud coherentes formados por humanos [12] y animales.
Si bien los LCS generalmente existen en cualquier sistema dinámico, su papel en la creación de patrones coherentes es quizás más fácilmente observable en los flujos de fluidos. Las imágenes a continuación son ejemplos de cómo los diferentes tipos de LCS ocultos en los flujos geofísicos dan forma a los patrones de trazadores.
Remolinos en espiral:
LCS hiperbólicos y elípticos
(Paul Scully-Power / NASA)Temperatura de la superficie del mar en
LCS parabólicos de la corriente del golfo
(NASA)Fitoplancton en anillo de Agulhas
2D elíptico LCS
(NASA / GSFC)Un anillo de vapor del
LCS elíptico 3D del Monte Etna (toroidal)
(Tom Pfeiffer [1] )
Definiciones generales
Superficies de material
En un espacio de fase y durante un intervalo de tiempo , considere un sistema dinámico no autónomo definido a través del mapa de flujo , mapeo de las condiciones iniciales en su posición para cualquier momento . Si el mapa de flujoes un difeomorfismo para cualquier elección de, luego para cualquier conjunto suave de las condiciones iniciales en , el conjunto
es una variedad invariante en el espacio de fase extendido . Tomando prestada terminología de la dinámica de fluidos , nos referimos al segmento de tiempo en evolución del colector como superficie de material (ver Fig. 1). Dado que cualquier elección del conjunto de condiciones iniciales produce una variedad invariante , las variedades invariantes y sus superficies materiales asociadas son abundantes y generalmente no se distinguen en el espacio de fase extendido. Solo unos pocos actuarán como núcleos de patrones de trayectoria coherentes.
LCS como superficies de material excepcionales
Para crear un patrón coherente, una superficie de material Debe ejercer una acción sostenida y consistente en trayectorias cercanas a lo largo del intervalo de tiempo. . Ejemplos de tal acción son atracción, repulsión o cizallamiento. En principio, califica cualquier propiedad matemática bien definida que cree patrones coherentes a partir de condiciones iniciales cercanas seleccionadas al azar.
La mayoría de estas propiedades se pueden expresar mediante desigualdades estrictas . Por ejemplo, llamamos a una superficie material atrayendo durante el intervalo si todas las perturbaciones iniciales lo suficientemente pequeñas como para son llevados por el flujo a perturbaciones finales aún más pequeñas para . En la teoría clásica de sistemas dinámicos , las variedades invariantes que satisfacen dicha propiedad de atracción en tiempos infinitos se denominan atractores . No solo son especiales, sino incluso localmente únicos en el espacio de fase: puede que no exista una familia continua de atractores.
Por el contrario, en los sistemas dinámicos definidos en un intervalo de tiempo finito, las desigualdades estrictas no definen superficies de materiales excepcionales (es decir, únicas localmente). Esto se deriva de la continuidad del mapa de flujo. encima . Por ejemplo, si una superficie de material atrae todas las trayectorias cercanas durante el intervalo de tiempo , entonces también lo hará cualquier otra superficie de material suficientemente cercana.
Por tanto, las superficies de material que atraen, repelen y cizallan están necesariamente apiladas unas sobre otras, es decir, se producen en familias continuas. Esto lleva a la idea de buscar LCS en sistemas dinámicos de tiempo finito como superficies de material excepcionales que exhiben una propiedad de inducción de coherencia con más fuerza que cualquiera de las superficies de material vecinas. Tales LCS, definidos como extremos (o más generalmente, superficies estacionarias) para una propiedad de coherencia de tiempo finito, servirán de hecho como piezas centrales observadas de patrones de trayectoria. En la figura 2a se muestran ejemplos de LCS de atracción, rechazo y cizallamiento en una simulación numérica directa de turbulencia 2D.
LCS frente a variedades invariantes clásicas
Las variedades invariantes clásicas son conjuntos invariantes en el espacio de fase de un sistema dinámico autónomo . Por el contrario, los LCS solo deben ser invariantes en el espacio de fase extendido. Esto significa que incluso si el sistema dinámico subyacente es autónomo , los LCS del sistema durante el intervalogeneralmente dependerá del tiempo, actuando como esqueletos en evolución de patrones de trayectoria coherentes observados. La Figura 2b muestra la diferencia entre un LCS atrayente y una variedad inestable clásica de un punto silla, para tiempos de evolución, en un sistema dinámico autónomo . [3]
Objetividad de las LCS
Suponga que el espacio de fase del sistema dinámico subyacente es el espacio de configuración material de un continuo, como un fluido o un cuerpo deformable. Por ejemplo, para un sistema dinámico generado por un campo de velocidad inestable
el conjunto abierto de posibles posiciones de partículas es un espacio de configuración de material. En este espacio, los LCS son superficies materiales, formadas por trayectorias. Si una trayectoria material está o no contenida en un LCS es una propiedad que es independiente de la elección de coordenadas y, por lo tanto, no puede depender del observador. Como consecuencia, los LCS están sujetos al requisito básico de objetividad (indiferencia del marco material) de la mecánica del continuo. [3] La objetividad de los LCS requiere que sean invariantes con respecto a todos los posibles cambios del observador, es decir, cambios de coordenadas lineales de la forma.
dónde es el vector de las coordenadas transformadas; es un arbitrario matriz ortogonal adecuada que representa rotaciones dependientes del tiempo; y es un arbitrario -vector dimensional que representa las traducciones dependientes del tiempo. Como consecuencia, cualquier definición o criterio de LCS autoconsistente debe poder expresarse en términos de cantidades que no varían en el marco. Por ejemplo, la tasa de deformación y el tensor de giro definido como
transformar bajo cambios euclidianos de marco en las cantidades
Un cambio de marco euclidiano es, por lo tanto, equivalente a una transformada de similitud para, y por lo tanto un enfoque LCS que depende solo de los valores propios y los vectores propios de [13] [14] es automáticamente invariante en el marco. Por el contrario, un enfoque LCS en función de los valores propios de generalmente no es invariante en el marco.
Varias cantidades independientes del marco, como , , , así como los promedios o valores propios de estas cantidades, se utilizan de forma rutinaria en la detección de LCS heurística. Si bien tales cantidades pueden marcar de manera efectiva características del campo de velocidad instantánea, la capacidad de estas cantidades para capturar la mezcla, el transporte y la coherencia del material es limitada y, a priori, desconocida en cualquier marco dado. Como ejemplo, considere el movimiento lineal inestable de partículas de fluido [3]
que es una solución exacta de las ecuaciones bidimensionales de Navier-Stokes . El criterio de Okubo-Weiss (dependiente de la trama) clasifica todo el dominio en este flujo como elíptico (vortical) porque sostiene, con refiriéndose a la norma matricial euclidiana. Sin embargo, como se ve en la Fig. 3, las trayectorias crecen exponencialmente a lo largo de una línea giratoria y se encogen exponencialmente a lo largo de otra línea giratoria. [3] En términos materiales, por lo tanto, el flujo es hiperbólico (tipo silla de montar) en cualquier cuadro.
Dado que se sabe que la ecuación de Newton para el movimiento de partículas y las ecuaciones de Navier-Stokes para el movimiento de fluidos dependen del marco, en primer lugar podría parecer contradictorio requerir invariancia del marco para LCS, que se componen de soluciones de estas ecuaciones dependientes del marco. Sin embargo, recuerde que las ecuaciones de Newton y Navier-Stokes representan principios físicos objetivos para las trayectorias de partículas materiales . Siempre que se transformen correctamente de un fotograma a otro, estas ecuaciones generan físicamente las mismas trayectorias materiales en el nuevo fotograma. De hecho, decidimos cómo transformar las ecuaciones de movimiento de un-frame a un -encuadre a través de un cambio de coordenadas precisamente al sostener que las trayectorias se mapean en trayectorias, es decir, al requerir para aguantar todo el tiempo. Diferenciación temporal de esta identidad y sustitución en la ecuación original en el-frame luego produce la ecuación transformada en el -marco. Si bien este proceso agrega nuevos términos (fuerzas inerciales) a las ecuaciones de movimiento, estos términos inerciales surgen precisamente para asegurar la invariancia de las trayectorias materiales. Completamente compuestos por trayectorias materiales, los LCS permanecen invariantes en la ecuación de movimiento transformada definida en el-marco de referencia. En consecuencia, cualquier método de detección o definición LCS autoconsistente también debe ser invariante en el marco.
LCS hiperbólicos
Motivado por la discusión anterior, la forma más sencilla de definir un LCS atrayente es exigir que sea una superficie de material atrayente localmente más fuerte en el espacio de fase extendido (ver. Fig. 4). De manera similar, un LCS repelente se puede definir como una superficie de material repelente localmente más fuerte. Atraer y repeler LCS juntos generalmente se conoce como LCS hiperbólicos , [1] [3] ya que proporcionan una generalización en tiempo finito del concepto clásico de variedades invariantes normalmente hiperbólicas en sistemas dinámicos .
Método de diagnóstico: crestas del exponente de Lyapunov en tiempo finito (FTLE)
Heurísticamente, uno puede buscar posiciones iniciales. de repeler LCSs como un conjunto de condiciones iniciales en las cuales perturbaciones infinitesimales a las trayectorias a partir de crecer localmente a la tasa más alta en relación con las trayectorias que parten de . [1] [15] El elemento heurístico aquí es que en lugar de construir una superficie de material altamente repelente, uno simplemente busca puntos de separación de partículas grandes. Tal separación puede deberse a un fuerte cizallamiento a lo largo del conjunto de puntos así identificados; no se garantiza en absoluto que este conjunto ejerza una repulsión normal en trayectorias cercanas.
El crecimiento de una perturbación infinitesimal a lo largo de una trayectoria se rige por el gradiente del mapa de flujo . Dejar ser una pequeña perturbación para la condición inicial , con , y con que denota un vector unitario arbitrario en . Esta perturbación generalmente crece a lo largo de la trayectoria en el vector de perturbación . Entonces, el estiramiento relativo máximo de perturbaciones infinitesimales en el punto se puede calcular como
dónde denota el tensor de deformación de Cauchy-Green derecho . Luego se concluye [1] que el estiramiento relativo máximo experimentado a lo largo de una trayectoria a partir de es solo . Como este estiramiento relativo tiende a crecer rápidamente, es más conveniente trabajar con su exponente de crecimiento., que es precisamente el exponente de Lyapunov en tiempo finito (FTLE)
Por lo tanto, se espera que los LCS hiperbólicos aparezcan como superficies maximizadoras locales de codimensión uno (o crestas ) del campo FTLE. [1] [17] Esta expectativa resulta estar justificada en la mayoría de los casos: tiempo posiciones de repeler LCS están marcadas por crestas de . Al aplicar el mismo argumento en el tiempo hacia atrás, obtenemos ese tiempo las posiciones de atraer LCS están marcadas por crestas del campo FTLE hacia atrás .
La forma clásica de calcular los exponentes de Lyapunov es resolver una ecuación diferencial lineal para el mapa de flujo linealizado.. Un enfoque más conveniente es calcular el campo FTLE a partir de una aproximación simple en diferencias finitas al gradiente de deformación. [1] Por ejemplo, en un flujo tridimensional, lanzamos una trayectoria de cualquier elemento de una cuadrícula de condiciones iniciales. Usando la representación de coordenadas por la trayectoria evolutiva , aproximamos el gradiente del mapa de flujo como
con un pequeño vector apuntando en el dirección de coordenadas. Para flujos bidimensionales, solo el primer La matriz menor de la matriz anterior es relevante.
Problemas al inferir LCS hiperbólicos a partir de crestas FTLE
Las crestas FTLE han demostrado ser una herramienta simple y eficiente para visualizar LCS hiperbólicos en una serie de problemas físicos, produciendo imágenes intrigantes de posiciones iniciales de LCS hiperbólicos en diferentes aplicaciones (ver, por ejemplo, las Figs. 5a-b). Sin embargo, las crestas FTLE obtenidas en ventanas de tiempo deslizantesno forme superficies de material. Por lo tanto, las crestas de bajo variando no se puede utilizar para definir objetos lagrangianos, como LCS hiperbólicos. De hecho, una superficie de material repelente localmente más fuerte sobre generalmente no jugará el mismo papel en y de ahí su posición en evolución en el momento no será una cresta para . No obstante, las crestas FTLE de segunda derivada en evolución [20] calculadas sobre intervalos deslizantes de la formaalgunos autores han identificado ampliamente con LCS. [20] En apoyo de esta identificación, también se argumenta a menudo que el flujo de material sobre las crestas FTLE de las ventanas corredizas debe ser necesariamente pequeño. [20] [21] [22] [23]
La identificación "FTLE ridge = LCS", [20] [21] sin embargo, adolece de los siguientes problemas conceptuales y matemáticos:
- Las crestas FTLE de segunda derivada son necesariamente líneas rectas y, por lo tanto, no existen en problemas físicos. [24] [25]
- Crestas FTLE calculadas sobre ventanas de tiempo deslizantes con una variante generalmente no son lagrangianos y el flujo a través de ellos generalmente no es pequeño. [26]
- En particular, una fórmula de flujo de material ampliamente referenciada [20] [21] [22] para crestas FTLE es incorrecta , [3] [26] incluso para crestas FTLE rectas
- Las crestas FTLE marcan posiciones LCS hiperbólicas, pero también resaltan superficies de alto cizallamiento. [17] A menudo surge en las aplicaciones una mezcla enrevesada de ambos tipos de superficies (consulte la Fig. 6 para ver un ejemplo).
- Hay varios otros tipos de LCS (elípticos y parabólicos) más allá de los LCS hiperbólicos resaltados por las crestas FTLE [3]
Enfoque variacional local: contraer y estirar superficies
La teoría variacional local de los LCS hiperbólicos se basa en su definición original como superficies de material repelentes o repelentes más fuertes en el flujo durante el intervalo de tiempo. . [1] En un punto inicial , dejar denotar una unidad normal a una superficie de material inicial (véase la figura 6). Por la invariancia de las líneas materiales, el espacio tangente se mapea en el espacio tangente de por el mapa de flujo linealizado . Al mismo tiempo, la imagen de lo normal normal bajo generalmente no permanece normal a . Por lo tanto, además de un componente normal de longitud, la normal advectada también desarrolla un componente tangencial de longitud (véase la figura 7).
Si , luego la superficie del material en evolución repele estrictamente las trayectorias cercanas al final del intervalo de tiempo . Similar, señales de que atrae estrictamente trayectorias cercanas a lo largo de sus direcciones normales. Una LCS repelente (atrayente) durante el intervalo se puede definir como una superficie de material cuya repulsión neta es puntual máximo (mínimo) con respecto a las perturbaciones del campo vectorial normal inicial . Como antes, nos referimos a repeler y atraer LCS colectivamente como LCS hiperbólicos . [1]
Resolver estos principios de extremos locales para LCS hiperbólicos en dos y tres dimensiones produce campos vectoriales normales unitarios a los que los LCS hiperbólicos deberían ser tangentes en todas partes. [27] [28] [29] La existencia de tales superficies normales también requiere una condición de integrabilidad de tipo Frobenius en el caso tridimensional. Todos estos resultados se pueden resumir de la siguiente manera: [3]
LCS | Campo de vector normal de por | ODE para para n = 2 | PDE tipo Frobenius para para n = 3 |
---|---|---|---|
Atrayendo | ( líneas de estiramiento ) | ( superficies estiradas ) | |
Repeler | ( líneas de contracción ) | ( superficies retráctiles ) |
Los LCS repelentes se obtienen como la mayoría de las líneas de contracción repelentes, comenzando por los máximos locales de . Los LCS atrayentes se obtienen como líneas de estiramiento más atractivas, comenzando desde los mínimos locales de. Estos puntos de partida sirven como posiciones iniciales de trayectorias excepcionales tipo silla de montar en el flujo. Un ejemplo del cálculo variacional local de un LCS repelente se muestra en la FIG. 8. El algoritmo computacional está disponible en LCS Tool.
En flujos 3D, en lugar de resolver el Frobenius PDE (ver tabla anterior) para LCS hiperbólicos, un enfoque más fácil es construir intersecciones de LCS hiperbólicos con planos 2D seleccionados y ajustar una superficie numéricamente a un gran número de tales curvas de intersección. Denotemos la unidad normal de un plano 2D por . La curva de intersección de una superficie LCS repelente 2D con el plano es normal para ambos y a la unidad normal de la LCS. Como consecuencia, una curva de intersección satisface la ODE
cuyas trayectorias llamamos líneas de contracción reducidas . [29] (Estrictamente hablando, esta ecuación no es una ecuación diferencial ordinaria, dado que su lado derecho no es un campo vectorial, sino un campo de dirección, que generalmente no es orientable globalmente). Intersecciones de LCS hiperbólicos conson las líneas reducidas de contracción más rápidas. Determinando tales líneas de contracción en una familia suave de cercanosplanos, luego ajustar una superficie a la familia de curvas así obtenida produce una aproximación numérica de un LCS repelente 2D. [29]
Enfoque variacional global: líneas de contracción y estiramiento como geodésicas nulas
Una superficie de material general experimenta cizallamiento y deformación en su deformación, los cuales dependen continuamente de las condiciones iniciales por la continuidad del mapa. . La deformación y el cizallamiento promediados dentro de una franja de-Las líneas de material cercanas, por lo tanto, suelen mostrar variación dentro de dicha franja. La teoría geodésica bidimensional de LCS busca ubicaciones excepcionalmente coherentes donde esta tendencia general falla, lo que resulta en una variabilidad de orden de magnitud menor en la cizalladura o deformación de lo que normalmente se espera en unabanda. Específicamente, la teoría geodésica busca LCS como líneas de material especial alrededor de las cuales las tiras de material no muestran variabilidad ya sea en la línea de material de un promedio de cizallamiento ( Shearless LCS ) o en la línea de material de un promedio de la tensión ( strainless o elíptica LCS ). Tales LCS resultan ser geodésicas nulas de tensores métricos apropiados definidos por el campo de deformación, de ahí el nombre de esta teoría.
Se encuentra que los LCS sin cizallamiento son geodésicas nulas de un tensor métrico de Lorentz.definido como [30]
Se puede demostrar que tales geodésicas nulas son líneas tensoras del tensor de deformación de Cauchy-Green, es decir, son tangentes al campo de dirección formado por los campos de vectores propios de deformación . [30] Específicamente, los LCS repelentes son trayectorias de a partir de los máximos locales del campo de valor propio. De manera similar, atraer LCS son trayectorias de partiendo de mínimos locales del campo de valor propio. Esto concuerda con la conclusión de la teoría variacional local de LCS. Sin embargo, el enfoque geodésico también arroja más luz sobre la robustez de los LCS hiperbólicos: los LCS hiperbólicos solo prevalecen como curvas estacionarias de la cizalla promedio funcional bajo variaciones que dejan sus puntos finales fijos. Esto debe contrastarse con los LCS parabólicos (ver más abajo), que también son LCS sin corte pero prevalecen como curvas estacionarias a la función de corte incluso bajo variaciones arbitrarias. Como consecuencia, las trayectorias individuales son objetivas y las declaraciones sobre las estructuras coherentes que forman también deben ser objetivas.
En la Fig. 9 se muestra una aplicación de muestra, donde la aparición repentina de un núcleo hiperbólico (la parte que atrae más fuerte de una línea de estiramiento) dentro del derrame de petróleo causó la notable inestabilidad de la cola de tigre en la forma del derrame de petróleo.
LCS elípticos
Los LCS Elliptc son superficies de material cerradas y anidadas que actúan como bloques de construcción de los equivalentes lagrangianos de vórtices, es decir, regiones de trayectorias dominadas por rotación que generalmente atraviesan el espacio de fase sin un estiramiento o plegado sustancial. Imitan el comportamiento de los toros de Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) que forman regiones elípticas en los sistemas hamiltonianos . Allí se puede alcanzar la coherencia mediante la rotación homogénea del material o mediante sus propiedades de estiramiento homogéneas.
Coherencia rotacional desde el ángulo de rotación polar (PRA)
Como enfoque más simple para la coherencia rotacional, se puede definir un LCS elíptico como una superficie de material tubular a lo largo de la cual pequeños volúmenes de material completan la misma rotación neta durante el intervalo de tiempo.de interés. [31] Un desafío en el sentido de que en cada elemento de volumen de material, todas las fibras de material individuales (vectores tangentes a trayectorias) realizan rotaciones diferentes.
Para obtener una rotación masiva bien definida para cada elemento material, se pueden emplear las descomposiciones polares izquierda y derecha únicas del gradiente de flujo en la forma
donde el tensor ortogonal adecuado se llama tensor de rotación y tensores definidos positivos simétricosse denominan tensor de estiramiento izquierdo y tensor de estiramiento derecho , respectivamente.
Dado que el tensor de deformación de Cauchy-Green se puede escribir como
la deformación del material local descrita por los valores propios y los vectores propios de son capturados completamente por los valores singulares y los vectores singulares de los tensores de estiramiento. El factor restante en el gradiente de deformación está representado por, interpretado como el componente de rotación de cuerpo sólido a granel de los elementos de volumen. En los movimientos planos, esta rotación se define en relación con la normal del plano. En tres dimensiones, la rotación se define en relación con el eje definido por el vector propio decorrespondiente a su valor propio unitario. En flujos de dimensiones superiores, el tensor de rotación no puede verse como una rotación alrededor de un solo eje.
En dos y tres dimensiones, por tanto, existe un ángulo de rotación polar (PRA) que caracteriza la rotación de material generada por para un elemento de volumen centrado en la condición inicial . Este PRA está bien definido hasta múltiplos de. Para flujos bidimensionales, el PRA se puede calcular a partir de las invariantes deusando las fórmulas [31]
que producen una versión de cuatro cuadrantes del PRA a través de la fórmula
Para flujos tridimensionales, el PRA puede calcularse nuevamente a partir de las invariantes de de las fórmulas [31]
dónde es el símbolo de Levi-Civita , es el vector propio correspondiente al vector propio unitario de la matriz .
El tiempo las posiciones de los LCS elípticos se visualizan como conjuntos de niveles tubulares de la distribución de PRA . En dos dimensiones, por lo tanto, los LCS elípticos (polares) son simplemente curvas de nivel cerradas del PRA, que resultan ser objetivas. [31] En tres dimensiones, los LCS elípticos (polares) son superficies niveladas toroidales o cilíndricas del PRA, que, sin embargo, no son objetivas y, por lo tanto, generalmente cambiarán en marcos giratorios. Los límites coherentes de los vórtices lagrangianos se pueden visualizar como miembros más externos de familias anidadas de LCS elípticas. En la figura 10a-b se muestran ejemplos bidimensionales y tridimensionales de LCS elípticos revelados por superficies de nivel tubular del PRA.
Coherencia rotacional de la desviación de vorticidad promedio de Lagrange (LAVD)
Los conjuntos de niveles del PRA son objetivos en dos dimensiones pero no en tres dimensiones. Un defecto adicional del tensor de rotación polar es su inconsistencia dinámica: las rotaciones polares calculadas sobre subintervalos adyacentes de una deformación total no suman la rotación calculada para el intervalo de tiempo completo de la misma deformación. [32] Por lo tanto, mientras es el tensor de rotación más cercano a en el norma durante un intervalo de tiempo fijo , estos mejores ajustes por partes no forman una familia de rotaciones de cuerpo rígido como y son variados. Por esta razón, las rotaciones predichas por el tensor de rotación polar en intervalos de tiempo variables se desvían de la rotación media del material observada experimentalmente de los elementos fluidos. [32] [33]
Una alternativa a la descomposición polar clásica proporciona una solución tanto al problema de la no objetividad como al de la inconsistencia dinámica. Específicamente, la Descomposición Polar Dinámica (DPD) [32] del gradiente de deformación también tiene la forma
donde el tensor ortogonal adecuado es el tensor de rotación dinámica y los tensores no singularesson el tensor de estiramiento dinámico izquierdo y el tensor de estiramiento dinámico derecho , respectivamente. Al igual que la descomposición polar clásica, la DPD es válida en cualquier dimensión finita. Sin embargo, a diferencia de la descomposición polar clásica, la rotación dinámica y los tensores de estiramiento se obtienen resolviendo ecuaciones diferenciales lineales, en lugar de manipulaciones matriciales. En particular, es el gradiente de deformación del flujo puramente rotacional
y es el gradiente de deformación del flujo puramente forzado
- .
El tensor de rotación dinámica Además, se puede factorizar en dos gradientes de deformación: uno para una rotación espacialmente uniforme (cuerpo rígido) y otro que se desvía de esta rotación uniforme:
Como una rotación de cuerpo rígido espacialmente independiente, el tensor de rotación relativa ortogonal apropiado es dinámicamente consistente, sirviendo como el gradiente de deformación del flujo de rotación relativo
Por el contrario, el tensor de rotación media ortogonal adecuado es el gradiente de deformación del flujo de rotación media
La coherencia dinámica de implica que el ángulo total barrido por alrededor de su propio eje de rotación es dinámicamente consistente. Este ángulo de rotación intrínseco también es objetivo, y resulta ser igual a la mitad de la desviación de vorticidad promedio de Lagrange ( LAVD ). [33] El LAVD se define como la magnitud promedio de la trayectoria de la desviación de la vorticidad de su media espacial. Con la vorticidad y su media espacial
el LAVD durante un intervalo de tiempo por lo tanto toma la forma [33]
con que denota el dominio (posiblemente variable en el tiempo) de definición del campo de velocidad . Este resultado se aplica tanto en dos como en tres dimensiones, y permite el cálculo de un ángulo de rotación de material bien definido, objetivo y dinámicamente consistente a lo largo de cualquier trayectoria.
Las curvas de nivel tubular complejas más externas del LAVD definen las posiciones iniciales de los límites del vórtice de material rotacionalmente coherente en flujos inestables bidimensionales (ver Fig. 11a). Por construcción, estos límites pueden exhibir filamentación transversal, pero cualquier filamento en desarrollo sigue girando con el límite, sin una salida transversal global del vórtice material. (Las excepciones son los flujos no viscosos en los que es posible una desviación global de las superficies del nivel LAVD de un vórtice, ya que los elementos fluidos conservan su tasa de rotación del material en todo momento [33] ). Sorprendentemente, se puede demostrar que los centros de vórtices rotacionalmente coherentes (definidos por los máximos locales del campo LAVD) son los centros de atracción o repulsión observados para el movimiento de partículas de tamaño finito (inercial) en los flujos geofísicos (ver Fig. [33] En los flujos tridimensionales, las superficies de nivel tubular del LAVD definen las posiciones iniciales de las superficies limítrofes de remolinos bidimensionales (ver Fig. 11c) que permanecen rotacionalmente coherentes durante un tiempo en el centro | erval (ver Fig. 11d).
Coherencia basada en el estiramiento desde un enfoque variacional local: superficies cortantes
La teoría variacional local de los LCS elípticos apunta a superficies de material que maximizan localmente el cizallamiento del material en el intervalo de tiempo finito. de interés. Esto significa que en el punto inicial cada punto de un LCS elíptico , el espacio tangente es el plano a lo largo del cual la cizalla lagrangiana local es máxima (cf. Fig. 7).
Presentación del campo vectorial de corte bidimensional
y el campo vectorial normal de cortante tridimensional
Los criterios para LCS elípticos bidimensionales y tridimensionales se pueden resumir de la siguiente manera: [29] [34]
LCS | Campo de vector normal de para n = 3 | ODE para para n = 2 | PDE tipo Frobenius para para n = 3 |
---|---|---|---|
Elíptico | ( líneas de corte ) | ( superficies cortantes ) |
Para flujos 3D, como en el caso de LCS hiperbólicos, se puede evitar la resolución de Frobenius PDE. En su lugar, se pueden construir intersecciones de un LCS elíptico tubular con planos 2D seleccionados y ajustar una superficie numéricamente a un gran número de estas curvas de intersección. En cuanto a los LCS hiperbólicos anteriores, denotemos la unidad normal de un plano 2D por . Nuevamente, las curvas de intersección de LCS elípticas con el plano son normales para ambos y a la unidad normal de la LCS. Como consecuencia, una curva de intersección satisface la ODE de corte reducido
cuyas trayectorias llamamos líneas de corte reducidas . [29] (Estrictamente hablando, la EDO de cortante reducida no es una ecuación diferencial ordinaria, dado que su lado derecho no es un campo vectorial, sino un campo de dirección, que generalmente no es orientable globalmente). Intersecciones de LCS elípticas tubulares conson ciclos límite de la ODE de corte reducido. Determinando tales ciclos límite en una familia suave de cercanosplanos, luego ajustar una superficie a la familia de ciclo límite produce una aproximación numérica para la superficie de corte 2D. En la Fig. 11 se muestra un ejemplo tridimensional de este cálculo variacional local de un LCS elíptico. [29]
Coherencia basada en estiramiento desde un enfoque variacional global: líneas lambda
Como se señaló anteriormente en LCS hiperbólicos, se ha desarrollado un enfoque variacional global en dos dimensiones para capturar LCS elípticos como curvas estacionarias cerradas de la deformación lagrangiana promediada por línea de material funcional. [3] [36] Estas curvas resultan ser geodésicas nulas cerradas de la familia generalizada de tensores de deformación de Green-Lagrange, dónde es un parámetro positivo (multiplicador de Lagrange). Se puede mostrar que las geodésicas nulas cerradas coinciden con los ciclos límite de la familia de campos de dirección
Tenga en cuenta que para , el campo de dirección coincide con el campo de dirección para líneas de corte obtenidas anteriormente de la teoría variacional local de LCS.
Trayectorias de se conocen como -líneas. Sorprendentemente, son posiciones iniciales de líneas de material que se estiran infinitesimalmente uniformemente bajo el mapa de flujo.. Específicamente, cualquier subconjunto de un-la línea se estira por un factor de entre los tiempos y . Como ejemplo, la Fig.13 muestra LCS elípticos identificados como cerrados-Líneas dentro de la Gran Mancha Roja de Júpiter. [35]
LCS parabólicos
Los LCS parabólicos son superficies de material sin cizallamiento que delinean núcleos de conjuntos de trayectorias de tipo chorro. Dichos LCS se caracterizan tanto por un bajo estiramiento (porque están dentro de una estructura que no se estira) como por un bajo cizallamiento (porque el cizallamiento del material es mínimo en los núcleos de chorro).
Método de diagnóstico: trincheras de exponentes de Lyapunov de tiempo finito (FTLE)
Dado que tanto el cizallamiento como el estiramiento son lo más bajos posible a lo largo de un LCS parabólico, se pueden buscar posiciones iniciales de superficies de material tales como zanjas del campo FTLE. [37] [38] Un ejemplo geofísico de un LCS parabólico (núcleo de chorro generalizado) revelado como una trinchera del campo FTLE se muestra en la Fig. 14a.
Enfoque variacional global: cadenas heteroclínicas de geodésicas nulas
En dos dimensiones, los LCS parabólicos también son soluciones del principio de variación global sin cizallamiento descrito anteriormente para los LCS hiperbólicos. [30] Como tal, los LCS parabólicos se componen de líneas de contracción y líneas de estiramiento que representan geodésicas del tensor métrico de Lorentz. . Sin embargo, a diferencia de los LCS hiperbólicos, los LCS parabólicos satisfacen condiciones de contorno más robustas: siguen siendo curvas estacionarias de la función de cizalla promediada por línea de material incluso bajo variaciones en sus puntos finales. Esto explica el alto grado de robustez y observabilidad que exhiben los núcleos de chorro al mezclar. Esto debe contrastarse con la huella altamente sensible y que se desvanece de los LCS hiperbólicos lejos de las regiones fuertemente hiperbólicas en los patrones de trazadores difusivos.
En condiciones de límite de punto final variable, las posiciones iniciales de los LCS parabólicos resultan ser cadenas alternas de líneas de contracción y líneas de estiramiento que conectan singularidades de estos campos de líneas. [3] [30] Estas singularidades ocurren en puntos donde, y por lo tanto no tiene lugar ninguna deformación infinitesimal entre las dos instancias de tiempo y . La Fig. 14b muestra un ejemplo de LCS parabólicos en la atmósfera de Júpiter, ubicado usando esta teoría variacional. [35] Las formas de tipo cheurón que se forman a partir de manchas de material circulares colocadas a lo largo del núcleo del chorro son características de la deformación del trazador cerca de los LCS parabólicos.
Paquetes de software para cálculos LCS
Cálculo geodésico de LCS hiperbólico y elíptico 2D :
- Herramienta LCS ( código fuente )
Cálculo geodésico automatizado de LCS elíptica 2D :
- Elliptic_LCS_2D ( https://github.com/LCSETH código fuente])
Cálculo de LCS elíptica rotacional 2D y 3D :
- Lagrangian-Averaged-Vorticity-Deviation-LAVD ( https://github.com/LCSETH código fuente])
Cálculo de advección de partículas y exponente de Lyapunov en tiempo finito :
- ManGen [39] ( código fuente )
- LCS MATLAB Kit [40] ( código fuente )
- FlowVC [41] ( código fuente )
- cuda_ftle [42] ( código fuente )
- CTRAJ [43]
- Newman [44] ( código fuente )
- FlowTK [45] ( código fuente )
Ver también
- Turbulencia
- Teoría del caos
- Teoría de sistemas dinámicos
Referencias
- ^ a b c d e f g h Haller, G .; Yuan, G. (2000). "Estructuras coherentes lagrangianas y mezcla en turbulencias bidimensionales". Physica D: Fenómenos no lineales . 147 (3–4): 352. Código bibliográfico : 2000PhyD..147..352H . doi : 10.1016 / S0167-2789 (00) 00142-1 .
- ^ Peacock, T .; Haller, G. (2013). "Estructuras coherentes lagrangianas: el esqueleto oculto de los flujos de fluidos". La física hoy . 66 (2): 41. Bibcode : 2013PhT .... 66b..41P . doi : 10.1063 / PT.3.1886 .
- ^ a b c d e f g h yo j k l Haller, G. (2015). "Estructuras coherentes lagrangianas". Revisión anual de mecánica de fluidos . 47 (1): 137-162. Código bibliográfico : 2015AnRFM..47..137H . doi : 10.1146 / annurev-fluid-010313-141322 .
- ^ Bozorgmagham, AE; Ross, SD; Schmale, DG (2013). "Predicción en tiempo real de estructuras coherentes lagrangianas atmosféricas basadas en datos de pronóstico: una aplicación y análisis de errores". Physica D: Fenómenos no lineales . 258 : 47–60. Código bibliográfico : 2013PhyD..258 ... 47B . doi : 10.1016 / j.physd.2013.05.003 .
- ^ Bozorgmagham, AE; Ross, SD (2015). "Estructuras coherentes lagrangianas atmosféricas considerando turbulencias no resueltas e incertidumbre del pronóstico". Comunicaciones en ciencia no lineal y simulación numérica . 22 (1–3): 964–979. Código bibliográfico : 2015CNSNS..22..964B . doi : 10.1016 / j.cnsns.2014.07.011 .
- ^ Olascoaga, MJ; Haller, G. (2012). "Pronóstico de cambios repentinos en los patrones de contaminación ambiental" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 109 (13): 4738–4743. Código bibliográfico : 2012PNAS..109.4738O . doi : 10.1073 / pnas.1118574109 . PMC 3323984 . PMID 22411824 .
- ^ Nencioli, F .; d'Ovidio, F .; Doglioli, AM; Petrenko, AA (2011). "Patrones de circulación costera superficial por detección in situ de estructuras coherentes de Lagrange" . Cartas de investigación geofísica . 38 (17): n / a. Código bibliográfico : 2011GeoRL..3817604N . doi : 10.1029 / 2011GL048815 .
- ^ Olascoaga, MJ; Beron-Vera, FJ; Haller, G .; Triñanes, J .; Iskandarani, M .; Coelho, EF; Haus, BK; Huntley, HS; Jacobs, G .; Kirwan, AD; Lipphardt, BL; Özgökmen, TM; hm Reniers, AJ; Valle-Levinson, A. (2013). "Movimiento de la deriva en el Golfo de México restringido por estructuras coherentes altimétricas lagrangianas" . Cartas de investigación geofísica . 40 (23): 6171. Bibcode : 2013GeoRL..40.6171O . doi : 10.1002 / 2013GL058624 .
- ^ Huhn, F .; von Kameke, A .; Pérez-Muñuzuri, V .; Olascoaga, MJ; Beron-Vera, FJ (2012). "El impacto del transporte advectivo por la contracorriente del Océano Índico Sur en la floración de plancton de Madagascar" . Cartas de investigación geofísica . 39 (6): n / a. Código bibliográfico : 2012GeoRL..39.6602H . doi : 10.1029 / 2012GL051246 .
- ^ Peng, J .; Peterson, R. (2012). "Atracción de estructuras en el transporte de cenizas volcánicas". Ambiente atmosférico . 48 : 230-239. Código bibliográfico : 2012AtmEn..48..230P . doi : 10.1016 / j.atmosenv.2011.05.053 .
- ^ Tallapragada, P .; Ross, SD; Schmale, DG (2011). "Las estructuras coherentes lagrangianas están asociadas con fluctuaciones en las poblaciones microbianas en el aire" . Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 21 (3): 033122. Código Bibliográfico : 2011Chaos..21c3122T . doi : 10.1063 / 1.3624930 . hdl : 10919/24411 . PMID 21974657 .
- ^ Ali, S .; Shah, M. (2007). "Un enfoque de dinámica de partículas de Lagrange para el análisis de estabilidad y segmentación de flujo de masas". 2007 Conferencia IEEE sobre visión artificial y reconocimiento de patrones . pag. 1. CiteSeerX 10.1.1.63.4342 . doi : 10.1109 / CVPR.2007.382977 . ISBN 978-1-4244-1179-5.
- ^ Haller, G. (2001). "Estructuras lagrangianas y la tasa de deformación en una partición de turbulencia bidimensional". Física de fluidos . 13 (11): 3365–3385. Código Bibliográfico : 2001PhFl ... 13.3365H . doi : 10.1063 / 1.1403336 .
- ^ Haller, G. (2005). "Una definición objetiva de un vórtice". Revista de Mecánica de Fluidos . 525 : 1–26. Código bibliográfico : 2005JFM ... 525 .... 1H . doi : 10.1017 / S0022112004002526 .
- ^ Haller, G. (2001). "Superficies de materiales distinguidos y estructuras coherentes en flujos de fluidos tridimensionales". Physica D: Fenómenos no lineales . 149 (4): 248-277. Código Bibliográfico : 2001PhyD..149..248H . CiteSeerX 10.1.1.331.6383 . doi : 10.1016 / S0167-2789 (00) 00199-8 .
- ^ Mathur, M .; Haller, G .; Peacock, T .; Ruppert-Felsot, J .; Swinney, H. (2007). "Descubriendo el esqueleto lagrangiano de la turbulencia". Cartas de revisión física . 98 (14): 144502. Código Bibliográfico : 2007PhRvL..98n4502M . doi : 10.1103 / PhysRevLett.98.144502 . PMID 17501277 .
- ^ a b Haller, G. (2002). "Estructuras coherentes lagrangianas a partir de datos de velocidad aproximados". Física de fluidos . 14 (6): 1851–1861. Código Bibliográfico : 2002PhFl ... 14.1851H . doi : 10.1063 / 1.1477449 .
- ^ Kasten, J .; Petz, C .; Hotz, I .; Hege, HC; Noack, BR; Tadmor, G. (2010). "Extracción de rasgo lagrangiano de la estela del cilindro" . Física de fluidos . 22 (9): 091108–091108–1. Código Bibliográfico : 2010PhFl ... 22i1108K . doi : 10.1063 / 1.3483220 .
- ^ Sanderson, AR (2014). "Una formulación alternativa de exponentes de Lyapunov para calcular estructuras coherentes lagrangianas". Simposio de visualización del Pacífico IEEE 2014 . págs. 277–280. CiteSeerX 10.1.1.657.3742 . doi : 10.1109 / PacificVis.2014.27 . ISBN 978-1-4799-2873-6.
- ^ a b c d e Shadden, SC; Lekien, F .; Marsden, JE (2005). "Definición y propiedades de estructuras coherentes lagrangianas de exponentes de Lyapunov de tiempo finito en flujos aperiódicos bidimensionales". Physica D: Fenómenos no lineales . 212 (3–4): 271–304. Código bibliográfico : 2005PhyD..212..271S . doi : 10.1016 / j.physd.2005.10.007 .
- ^ a b c Lekien, F .; Shadden, SC; Marsden, JE (2007). "Estructuras coherentes lagrangianas en sistemas n-dimensionales" (PDF) . Revista de Física Matemática . 48 (6): 065404. Bibcode : 2007JMP .... 48f5404L . doi : 10.1063 / 1.2740025 .
- ^ a b Shadden, Carolina del Sur (2005). "Tutorial LCS" . Archivado desde el original el 23 de julio de 2012.
- ^ Lipinski, D .; Mohseni, K. (2010). "Un algoritmo de seguimiento de crestas y estimación de errores para el cálculo eficiente de estructuras coherentes de Lagrange". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 20 (1): 017504. Código bibliográfico : 2010Chaos..20a7504L . doi : 10.1063 / 1.3270049 . PMID 20370294 .
- ^ Norgard, G .; Bremer, PT (2012). "Las crestas de la segunda derivada son líneas rectas y las implicaciones para calcular estructuras coherentes lagrangianas". Physica D: Fenómenos no lineales . 241 (18): 1475. Código Bibliográfico : 2012PhyD..241.1475N . doi : 10.1016 / j.physd.2012.05.006 .
- ^ Schindler, B .; Peikert, R .; Fuchs, R .; Theisel, H. (2012). "Conceptos de cresta para la visualización de estructuras coherentes lagrangianas". Métodos topológicos en el análisis y visualización de datos II . Matemáticas y visualización. pag. 221. doi : 10.1007 / 978-3-642-23175-9_15 . ISBN 978-3-642-23174-2.
- ^ a b Haller, G. (2011). "Una teoría variacional de estructuras coherentes lagrangianas hiperbólicas". Physica D: Fenómenos no lineales . 240 (7): 574–598. Código bibliográfico : 2011PhyD..240..574H . doi : 10.1016 / j.physd.2010.11.010 .
- ^ a b Farazmand, M .; Haller, G. (2012). "Errata y adición a" Una teoría variacional de estructuras coherentes hiperbólicas de Lagrange "[Physica D 240 (2011) 574-598]". Physica D: Fenómenos no lineales . 241 (4): 439. Bibcode : 2012PhyD..241..439F . doi : 10.1016 / j.physd.2011.09.013 .
- ^ Farazmand, M .; Haller, G. (2012). "Computación de estructuras coherentes lagrangianas a partir de su teoría variacional". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 22 (1): 013128. Código Bibliográfico : 2012Chaos..22a3128F . doi : 10.1063 / 1.3690153 . PMID 22463004 .
- ^ a b c d e f Blazevski, D .; Haller, G. (2014). "Barreras de transporte hiperbólicas y elípticas en flujos inestables tridimensionales". Physica D: Fenómenos no lineales . 273–274: 46–62. arXiv : 1306.6497 . Código Bibliográfico : 2014PhyD..273 ... 46B . doi : 10.1016 / j.physd.2014.01.007 .
- ^ a b c d Farazmand, M .; Blazevski, D .; Haller, G. (2014). "Barreras de transporte sin cizallamiento en mapas y flujos bidimensionales inestables". Physica D: Fenómenos no lineales . 278–279: 44–57. arXiv : 1308.6136 . Código Bibliográfico : 2014PhyD..278 ... 44F . doi : 10.1016 / j.physd.2014.03.008 .
- ^ a b c d e f Farazmand, Mohammad; Haller, George (2016). "El ángulo de rotación polar identifica islas elípticas en sistemas dinámicos inestables". Physica D: Fenómenos no lineales . 315 : 1–12. arXiv : 1503.05970 . Código bibliográfico : 2016PhyD..315 .... 1F . doi : 10.1016 / j.physd.2015.09.007 .
- ^ a b c Haller, George (2016). "Rotación dinámica y estiramiento de tensores a partir de una descomposición polar dinámica". Revista de Mecánica y Física de Sólidos . 86 : 70–93. arXiv : 1510.05367 . Código bibliográfico : 2016JMPSo..86 ... 70H . doi : 10.1016 / j.jmps.2015.10.002 .
- ^ a b c d e f g h yo Haller, George; Hadjighasem, Alireza; Farazmand, Mohammad; Huhn, Florian (2016). "Definición de vórtices coherentes objetivamente a partir de la vorticidad". Revista de Mecánica de Fluidos . 795 : 136-173. arXiv : 1506.04061 . Código Bibliográfico : 2016JFM ... 795..136H . doi : 10.1017 / jfm.2016.151 .
- ^ Haller, G .; Beron-Vera, FJ (2012). "Teoría geodésica de barreras de transporte en flujos bidimensionales". Physica D: Fenómenos no lineales . 241 (20): 1680. Código Bibliográfico : 2012PhyD..241.1680H . doi : 10.1016 / j.physd.2012.06.012 .
- ^ a b c d Hadjighasem, A .; Haller, G. (2016). "Barreras de transporte geodésico en la atmósfera de Júpiter: un análisis basado en video". Revisión SIAM . 58 (1): 69–89. arXiv : 1408.5594 . doi : 10.1137 / 140983665 .
- ^ Haller, G .; Beron-Vera, FJ (2013). "Vórtices lagrangianos coherentes: los agujeros negros de la turbulencia". Revista de Mecánica de Fluidos . 731 : R4. arXiv : 1308.2352 . Código Bibliográfico : 2013JFM ... 731R ... 4H . doi : 10.1017 / jfm.2013.391 .
- ^ Beron-Vera, FJ; Olascoaga, MAJ; Brown, MG; KoçAk, H .; Rypina, II (2010). "Estructuras coherentes lagrangianas tipo tori invariante en flujos geofísicos". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 20 (1): 017514. Código Bibliográfico : 2010Chaos..20a7514B . doi : 10.1063 / 1.3271342 . PMID 20370304 .
- ^ Beron-Vera, FJ; Olascoaga, MAJ; Brown, MG; Koçak, H. (2012). "Chorros zonales como barreras de transporte meridional en la estratosfera inferior subtropical y polar" . Revista de Ciencias Atmosféricas . 69 (2): 753. Bibcode : 2012JAtS ... 69..753B . doi : 10.1175 / JAS-D-11-084.1 .
- ^ Lekien, Francois; Coulliette, Chad. "ManGen 1.4.4" . Archivado desde el original el 7 de enero de 2009.
- ^ Dabiri, John O. "LCS MATLAB Kit" .
- ^ Shadden, Shawn C. "FlowVC" .
- ^ Jiménez, Raymond; Vankerschaver, Joris. "cuda_ftle" . Archivado desde el original el 17 de mayo de 2011.
- ^ Mills, Peter. "CTRAJ" .
- ^ Du Toit, Philip C. "Newman" . Archivado desde el original el 13 de junio de 2010.
- ^ Ameli, Siavash; Desai, Yogin; Shadden, Shawn C. (2014). "Desarrollo de una tubería eficiente y flexible para el cálculo de la estructura coherente de Lagrange" (PDF) . En Peer-Timo Bremer; Ingrid Hotz; Valerio Pascucci; Ronald Peikert (eds.). Métodos topológicos en el análisis y visualización de datos III . Matemáticas y visualización. Springer . págs. 201–215. doi : 10.1007 / 978-3-319-04099-8_13 . ISBN 978-3-319-04099-8. ISSN 1612-3786 . Archivado desde el original (PDF) el 6 de octubre de 2014.
- Salman, H .; Hesthaven, JS; Warburton, T .; Haller, G. (2006). "Predicción del transporte por estructuras coherentes lagrangianas con un método de orden superior" . Dinámica de fluidos teórica y computacional . 21 (1): 39–58. Código Bibliográfico : 2007ThCFD..21 ... 39S . doi : 10.1007 / s00162-006-0031-0 .
- Green, MA; Rowley, CW; Haller, G. (2007). "Detección de estructuras coherentes lagrangianas en turbulencias tridimensionales". Revista de Mecánica de Fluidos . 572 : 111-120. Código Bibliográfico : 2007JFM ... 572..111G . CiteSeerX 10.1.1.506.7756 . doi : 10.1017 / S0022112006003648 .