En mecánica continua , el tensor de velocidad de deformación o tensor de velocidad de deformación es una cantidad física que describe la velocidad de cambio de la deformación de un material en la vecindad de un punto determinado, en un momento determinado. Puede definirse como la derivada del tensor de deformación con respecto al tiempo, o como la componente simétrica del gradiente (derivada con respecto a la posición) de la velocidad del flujo . En mecánica de fluidos también se puede describir como el gradiente de velocidad , una medida de cómo la velocidadde un fluido cambia entre diferentes puntos dentro del fluido. [1] Aunque el término puede referirse a las diferencias de velocidad entre capas de flujo en una tubería, [2] a menudo se usa para referirse al gradiente de la velocidad de un flujo con respecto a sus coordenadas . [3] El concepto tiene implicaciones en una variedad de áreas de la física y la ingeniería , incluida la magnetohidrodinámica , la minería y el tratamiento del agua. [4] [5] [6]
El tensor de velocidad de deformación es un concepto puramente cinemático que describe el movimiento macroscópico del material. Por tanto, no depende de la naturaleza del material, ni de las fuerzas y tensiones que puedan estar actuando sobre él; y se aplica a cualquier medio continuo , ya sea sólido , líquido o gaseoso .
Por otro lado, para cualquier fluido, excepto los superfluidos , cualquier cambio gradual en su deformación (es decir, un tensor de tasa de deformación distinto de cero) da lugar a fuerzas viscosas en su interior, debido a la fricción entre elementos fluidos adyacentes , que tienden a oponerse a ese cambio . En cualquier punto del fluido, estas tensiones pueden describirse mediante un tensor de tensión viscoso que, casi siempre, está completamente determinado por el tensor de velocidad de deformación y por ciertas propiedades intrínsecas del fluido en ese punto. La tensión viscosa también se produce en los sólidos, además de la tensión elástica observada en la deformación estática; cuando es demasiado grande para ignorarlo, se dice que el material es viscoelástico .
Análisis dimensional
Al realizar un análisis dimensional , se pueden determinar las dimensiones del gradiente de velocidad. Las dimensiones de la velocidad son , y las dimensiones de la distancia son . Dado que el gradiente de velocidad se puede expresar como. Por lo tanto, el gradiente de velocidad tiene las mismas dimensiones que esta relación, es decir.
En mecánica continua
En 3 dimensiones, el gradiente de la velocidad es un tensor de segundo orden (ver más abajo) que se puede transponer como la matriz :
se puede descomponer en la suma de una matriz simétrica y una matriz simétrica sesgada como sigue
se llama tensor de velocidad de deformación y describe la velocidad de estiramiento y cizallamiento. se llama tensor de espín y describe la velocidad de rotación. [7]
Relación entre el esfuerzo cortante y el campo de velocidades
Sir Isaac Newton propuso que el esfuerzo cortante es directamente proporcional al gradiente de velocidad: [8]
- .
La constante de proporcionalidad ,, se llama viscosidad dinámica .
Definicion formal
Considere un cuerpo material, sólido o fluido, que fluye y / o se mueve en el espacio. Sea v el campo de velocidad dentro del cuerpo; es decir, una función suave de ℝ 3 × ℝ tal que v ( p , t ) es la velocidad macroscópica del material que pasa por el punto p en el tiempo t .
La velocidad v ( p + r , t ) en un punto desplazado de p por un vector pequeño r se puede escribir como una serie de Taylor :
donde ∇ v el gradiente del campo de velocidad, entendido como un mapa lineal que lleva un vector de desplazamiento r al correspondiente cambio en la velocidad.
En un marco de referencia arbitrario , ∇ v está relacionado con la matriz jacobiana del campo, es decir, en 3 dimensiones es la matriz de 3 × 3
donde v i es el componente de v paralelo al eje i y ∂ j f denota la derivada parcial de una función f con respecto a la coordenada espacial x j . Tenga en cuenta que J es una función de p y t .
En este sistema de coordenadas, la aproximación de Taylor para la velocidad cerca de p es
o simplemente
si v y r son vistos como 3 × 1 matrices.
Partes simétricas y antisimétricas
Cualquier matriz se puede descomponer en la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica . Aplicando esto a la matriz jacobiana J = ∇ v con componentes simétricos y antisimétricos E y R respectivamente:
Esta descomposición es independiente del sistema de coordenadas, por lo que tiene un significado físico. Entonces el campo de velocidad puede aproximarse como
es decir,
El término antisimétrico R representa una rotación rígida del fluido alrededor del punto p . Su velocidad angular es
El producto ∇ × v se llama rizo rotacional del campo vectorial. Una rotación rígida no cambia las posiciones relativas de los elementos fluidos, por lo que el término antisimétrico R del gradiente de velocidad no contribuye a la tasa de cambio de la deformación. Por lo tanto, la tasa de deformación real se describe mediante el término E simétrico , que es el tensor de la tasa de deformación .
Tasa de cizallamiento y tasa de compresión
El término simétrico E de gradiente de velocidad (el tensor de tasa de deformación) se puede descomponer aún más como la suma de un escalar por el tensor unitario, que representa una expansión o contracción isotrópica gradual; y un tensor simétrico sin trazas que representa una deformación por cizallamiento gradual, sin cambios en el volumen: [9]
Es decir,
Aquí δ es el tensor unitario , tal que δ ij es 1 si i = j y 0 si i ≠ j . Esta descomposición es independiente de la elección del sistema de coordenadas y, por lo tanto, es físicamente significativa.
El tensor de la tasa de expansión es 1/3de la divergencia del campo de velocidad:
que es la velocidad a la que aumenta el volumen de una cantidad fija de líquido en ese punto.
El tensor de velocidad de corte está representado por una matriz simétrica de 3 × 3 y describe un flujo que combina los flujos de compresión y expansión a lo largo de tres ejes ortogonales, de modo que no hay cambios en el volumen. Este tipo de flujo ocurre, por ejemplo, cuando una tira de goma se estira tirando de los extremos, o cuando la miel cae de una cuchara como un flujo suave e ininterrumpido.
Para un flujo bidimensional, la divergencia de v tiene solo dos términos y cuantifica el cambio de área en lugar de volumen. El factor 1/3 en el término de la tasa de expansión debe reemplazarse por 1/2 en ese caso.
Ejemplos de
El estudio de gradientes de velocidad es útil para analizar materiales dependientes de la trayectoria y en el estudio posterior de tensiones y deformaciones; por ejemplo, deformación plástica de metales . [3] El gradiente de velocidad cercano a la pared de los reactivos no quemados que fluyen desde un tubo es un parámetro clave para caracterizar la estabilidad de la llama. [5] : 1–3 El gradiente de velocidad de un plasma puede definir las condiciones para las soluciones de ecuaciones fundamentales en magnetohidrodinámica. [4]
Fluido en una pipa
Considere el campo de velocidad de un fluido que fluye a través de una tubería . La capa de fluido en contacto con la tubería tiende a estar en reposo con respecto a la tubería. A esto se le llama condición sin deslizamiento . [10] Si la diferencia de velocidad entre las capas de fluido en el centro de la tubería y en los lados de la tubería es suficientemente pequeña, entonces el flujo de fluido se observa en forma de capas continuas. Este tipo de flujo se llama flujo laminar .
La diferencia de velocidad de flujo entre capas adyacentes se puede medir en términos de un gradiente de velocidad, dado por. Dónde es la diferencia en la velocidad del flujo entre las dos capas y es la distancia entre las capas.
Ver también
- Tensor de estrés (desambiguación)
- Teoría de la deformación finita # Derivada en el tiempo del gradiente de deformación , el gradiente de velocidad espacial y material de la mecánica del continuo
Referencias
- ^ Carl Schaschke (2014). Un diccionario de ingeniería química . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 9780199651450.
- ^ "Infoplease: viscosidad: el gradiente de velocidad" .
- ^ a b "Gradiente de velocidad en continuummechanics.org" .
- ^ a b Zhang, Zujin (junio de 2017), "Sistema MHD generalizado con gradiente de velocidad en espacios de Besov de orden negativo", Acta Applicandae Mathematicae , 149 (1): 139-144, doi : 10.1007 / s10440-016-0091-0 , ISSN 1572 -9036 , S2CID 207075598
- ^ a b Grumer, J .; Harris, ME; Rowe, VR (julio de 1956), Límites fundamentales de retroceso, escape y punta amarilla de mezclas de gas combustible y aire (PDF) , Oficina de Minas
- ^ Rojas, JC; Moreno, B .; Garralón, G .; Plaza, F .; Pérez, J .; Gómez, MA (2010), "Influencia del gradiente de velocidad en un floculador hidráulico en la eliminación de NOM mediante membranas de ultrafiltración aireadas en espiral (ASWUF)", Journal of Hazardous Materials , 178 (1): 535-540, doi : 10.1016 / j .jhazmat.2010.01.116 , ISSN 0304-3894 , PMID 20153578
- ^ González, O .; Stuart, AM (2008). Un primer curso de mecánica continua . Textos de Cambridge en Matemática Aplicada. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 134-135.
- ^ Batchelor, GK (2000). Introducción a la dinámica de fluidos . Biblioteca de matemáticas de Cambridge. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 145. ISBN 9780521663960.
- ^ Landau, LD; Lifshitz, EM (1997). Mecánica de fluidos . Traducido por Sykes, JB; Reid, WH (2ª ed.). Butterworth Heinemann. ISBN 0-7506-2767-0.
- ^ Levicky, R. "Revisión de la terminología de la mecánica de fluidos" (PDF) .