En los sistemas dinámicos , una rama de las matemáticas , una variedad invariante es una variedad topológica que es invariante bajo la acción del sistema dinámico. [1] Los ejemplos incluyen el colector lento , el colector central , el colector estable , el colector inestable , el colector subcentro y el colector inercial .
Normalmente, aunque no siempre, las variedades invariantes se construyen como una "perturbación" de un subespacio invariante en torno a un equilibrio. En los sistemas disipativos, una variedad invariante basada en los modos más graves y de mayor duración forma un modelo eficaz, reducido y de baja dimensión de la dinámica. [2]
Definición
Considere la ecuación diferencial con el flujo siendo la solución de la ecuación diferencial con . Un conjuntose llama un conjunto invariante para la ecuación diferencial si, para cada, la solución , definido en su intervalo mximo de existencia, tiene su imagen en . Alternativamente, la órbita que pasa por cada yace en . Además,se llama una variedad invariante sies un colector . [3]
Ejemplos de
Sistema dinámico 2D simple
Para cualquier parámetro fijo , considera las variables gobernado por el par de ecuaciones diferenciales acopladas
El origen es un equilibrio. Este sistema tiene dos variedades invariantes de interés a través del origen.
- La linea vertical es invariante como cuando la -la ecuación se convierte en que asegura permanece cero. Esta variedad invariante,, es una variedad estable del origen (cuando) como todas las condiciones iniciales conducen a soluciones que se acercan asintóticamente al origen.
- La parábola es invariante para todos los parámetros . Uno puede ver esta invariancia considerando la derivada del tiempo y encontrarlo es cero en como se requiere para una variedad invariante. Paraesta parábola es la variedad inestable del origen. Paraesta parábola es una multiplicidad central , más precisamente una multiplicidad lenta , del origen.
- Para sólo hay una variedad estable invariante sobre el origen, la variedad estable que incluye todas las.
Variedades invariantes en sistemas dinámicos no autónomos
Una ecuación diferencial
representa un sistema dinámico no autónomo , cuyas soluciones son de la forma con . En el espacio de fase extendido de tal sistema, cualquier superficie inicial genera una variedad invariante
Entonces, una cuestión fundamental es cómo se pueden ubicar, de esta gran familia de variedades invariantes, las que tienen la mayor influencia en la dinámica general del sistema. Estas variedades invariantes más influyentes en el espacio de fase extendido de un sistema dinámico no autónomo se conocen como estructuras coherentes lagrangianas . [4]
Ver también
Referencias
- ^ Hirsh MW, Pugh CC, Shub M., Colectores invariantes, Lect. Notas. Math., 583, Springer, Berlín - Heidelberg, 1977
- ^ AJ Roberts. La utilidad de una descripción múltiple invariante de la evolución de un sistema dinámico. SIAM J. Math. Anal., 20: 1447–1458, 1989. http://locus.siam.org/SIMA/volume-20/art_0520094.html Archivado 2008-08-20 en Wayback Machine.
- ^ C. Chicone. Ecuaciones diferenciales ordinarias con aplicaciones, volumen 34 de Textos en matemáticas aplicadas. Springer, 2006, pág.34
- ^ Haller, G. (2015). "Estructuras coherentes lagrangianas". Revisión anual de mecánica de fluidos . 47 (1): 137-162. Código bibliográfico : 2015AnRFM..47..137H . doi : 10.1146 / annurev-fluid-010313-141322 .