En matemáticas , los lagos de Wada (和田 の 湖, Wada no mizuumi ) son tres conjuntos abiertos conectados disjuntos del plano o unidad cuadrada abierta con la propiedad contradictoria de que todos tienen el mismo límite . En otras palabras, para cualquier punto seleccionado en el límite de uno de los lagos, los límites de los otros dos lagos también contienen ese punto.
Se dice que más de dos conjuntos con el mismo límite tienen la propiedad Wada ; los ejemplos incluyen cuencas de Wada en sistemas dinámicos . Esta propiedad es poco común en los sistemas del mundo real.
Los lagos de Wada fueron presentados por Kunizō Yoneyama ( 1917 , página 60), quien atribuyó el descubrimiento a Takeo Wada . Su construcción es similar a la construcción por Brouwer (1910) de un continuo indecomponible y, de hecho, es posible que el límite común de los tres conjuntos sea un continuo indecomponible.
Construcción de los lagos de Wada
Los lagos de Wada se forman comenzando con una unidad cuadrada cerrada de tierra seca y luego cavando 3 lagos de acuerdo con la siguiente regla:
- El día n = 1, 2, 3, ... extienda el lago n mod 3 (= 0, 1, 2) de modo que esté abierto y conectado y pase a una distancia 1 / n de toda la tierra seca restante. Esto debe hacerse para que la tierra seca restante permanezca homeomorfa a un cuadrado unitario cerrado.
Después de un número infinito de días, los tres lagos siguen siendo conjuntos abiertos conectados y separados, y la tierra seca restante es el límite de cada uno de los 3 lagos.
Por ejemplo, los primeros cinco días pueden ser (vea la imagen de la derecha):
- Cave un lago azul de anchura 1/3 pasar dentro √ 2 /3, de toda la tierra seca.
- Cave un lago rojo de anchura 1/3 2 pasa dentro √ 2 /3 2 de toda la tierra seca.
- Cave un lago verde de anchura 1/3 3 que pasa dentro de √ 2 /3 3 de toda la tierra seca.
- Extender el lago azul por un canal de ancho de 1/3 4 que pasa dentro de √ 2 /3 4 de toda la tierra seca. (El pequeño canal conecta el delgado lago azul con el grueso, cerca de la mitad de la imagen).
- Extender el lago rojo por un canal de ancho de 1/3 5 pasando dentro de √ 2 /3 5 de toda la tierra seca. (El pequeño canal conecta el delgado lago rojo con el grueso, cerca de la parte superior izquierda de la imagen).
Una variación de esta construcción puede producir un número infinito contable de lagos conectados con el mismo límite: en lugar de extender los lagos en el orden 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ...., extiéndalos en el orden 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, ... y así sucesivamente.
Lavabos Wada
Las cuencas de Wada son ciertas cuencas especiales de atracción estudiadas en las matemáticas de los sistemas no lineales. Una cuenca que tiene la propiedad de que cada vecindario de cada punto en el límite de esa cuenca interseca al menos tres cuencas se llama cuenca Wada , o se dice que tiene la propiedad Wada . A diferencia de los lagos de Wada, las cuencas de Wada a menudo están desconectadas.
Un ejemplo de cuencas de Wada lo da el método de Newton-Raphson aplicado a un polinomio cúbico con raíces distintas, como z 3 - 1; mira la foto.
Un sistema físico que demuestra las cuencas de Wada es el patrón de reflejos entre tres esferas en contacto: vea la dispersión caótica .
Cuencas de Wada en la teoría del caos
En la teoría del caos , las cuencas de Wada surgen con mucha frecuencia. Por lo general, la propiedad Wada se puede ver en la cuenca de atracción de los sistemas dinámicos disipativos. Pero las cuencas de salida del sistema hamiltoniano también pueden mostrar la propiedad Wada. En el contexto de la dispersión caótica de sistemas con múltiples salidas, la cuenca de salida muestra la propiedad Wada. MAF Sanjuán et al. [1] había demostrado que en el sistema Hénon-Heiles las cuencas de salida tienen esta propiedad de Wada.
Referencias
- Breban, Romulus; Nusse, H E. (2005), "Sobre la creación de cuencas de Wada en mapas de intervalo mediante bifurcación tangente de punto fijo" , Physica D , 207 (1–2): 52–63, Bibcode : 2005PhyD..207 ... 52B , doi : 10.1016 / j.physd.2005.05.012
- Brouwer, LEJ (1910), "Zur Analysis Situs" (PDF) , Mathematische Annalen , 68 (3): 422–434, doi : 10.1007 / BF01475781
- Coudene, Yves (2006), "Imágenes de sistemas dinámicos hiperbólicos" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 53 (1): 8-13, ISSN 0002-9920 , MR 2189945
- Gelbaum, Bernard R .; Olmsted, John MH (2003), Contraejemplos en análisis , Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 0-486-42875-3 ejemplo 10.13
- Hocking, JG; Young, GS (1988), Topology , Nueva York: Dover Publications, p. 144 , ISBN 0-486-65676-4
- Kennedy, J; Yorke, JA (1991), "Basins of Wada", Physica D , 51 (1-3): 213-225, Bibcode : 1991PhyD ... 51..213K , doi : 10.1016 / 0167-2789 (91) 90234- Z
- Dulce d.; Ott, E .; Yorke, JA (1999), "Topología compleja en dispersión caótica: una observación de laboratorio", Nature , 399 (6734): 315, Bibcode : 1999Natur.399..315S , doi : 10.1038 / 20573
- Yoneyama, Kunizô (1917), "Teoría del conjunto continuo de puntos" , Tôhoku Mathematical Journal , 12 : 43-158
- ^ Cuencas de Wada y conjuntos invariantes caóticos en el sistema Henon-Heiles, Phys. Rev. E 64, 066208 (2001)
enlaces externos
- Una realización experimental de las cuencas de Wada (con fotografías)
- Introducción a las cuencas de Wada y la propiedad Wada
- Esferas reflectantes del infinito: fractales de la cuenca de Wada
- Cuencas de Wada: representación de la dispersión caótica