La dispersión caótica es una rama de la teoría del caos que se ocupa de los sistemas de dispersión que muestran una fuerte sensibilidad a las condiciones iniciales . En un sistema de dispersión clásico, habrá uno o más parámetros de impacto , b , en los que se envía una partícula al dispersor. Esto da lugar a uno o más parámetros de salida, y , cuando la partícula sale hacia el infinito. Mientras la partícula atraviesa el sistema, también puede haber un tiempo de retraso , T , el tiempo que tarda la partícula en salir del sistema, además de la distancia recorrida, s, que en ciertos sistemas, es decir, sistemas "similares a los de un billar" en los que la partícula sufre colisiones sin pérdidas con objetos duros y fijos, los dos serán equivalentes; ver más abajo. En un sistema de dispersión caótico, un cambio mínimo en el parámetro de impacto puede dar lugar a un cambio muy grande en los parámetros de salida.
Sistema Gaspard-Rice
Un excelente ejemplo de sistema es el sistema de dispersión "Gaspard-Rice" (GR) [1], también conocido simplemente como el sistema de "tres discos", que incorpora muchos de los conceptos importantes de la dispersión caótica y, al mismo tiempo, es simple y fácil de entender y simular. El concepto es muy simple: tenemos tres discos duros dispuestos en alguna formación triangular, se envía una partícula puntual y sufre colisiones elásticas perfectas hasta que sale hacia el infinito. En esta discusión, solo consideraremos los sistemas GR que tienen discos de igual tamaño, igualmente espaciados alrededor de los puntos de un triángulo equilátero.
La Figura 1 ilustra este sistema, mientras que la Figura 2 muestra dos trayectorias de ejemplo. Tenga en cuenta primero que las trayectorias rebotan alrededor del sistema durante algún tiempo antes de salir finalmente. Tenga en cuenta también que si consideramos que los parámetros de impacto son el inicio de las dos líneas perfectamente horizontales de la izquierda (el sistema es completamente reversible: el punto de salida también podría ser el punto de entrada), las dos trayectorias están inicialmente tan cerca como para ser casi idéntico. Cuando salen, son completamente diferentes, lo que ilustra la fuerte sensibilidad a las condiciones iniciales. Este sistema se utilizará como ejemplo a lo largo del artículo.
Tasa de descomposición
Si introducimos una gran cantidad de partículas con parámetros de impacto distribuidos uniformemente, la velocidad a la que salen del sistema se conoce como velocidad de desintegración. Podemos calcular la tasa de descomposición mediante la simulación del sistema a lo largo de muchas pruebas y formando un histograma del tiempo de retardo, T . Para el sistema GR, es fácil ver que el tiempo de retardo y la longitud de la trayectoria de la partícula son equivalentes pero para un coeficiente de multiplicación. Una opción típica para el parámetro de impacto es la coordenada y , mientras que el ángulo de trayectoria se mantiene constante en cero grados, horizontal. Mientras tanto, decimos que la partícula ha "salido del sistema" una vez que pasa un borde a una distancia arbitraria, pero suficientemente grande, del centro del sistema.
Esperamos que el número de partículas que quedan en el sistema, N (T) , varíe como:
Por lo tanto, la tasa de desintegración ,, se da como:
donde n es el número total de partículas. [2]
La Figura 3 muestra un gráfico de la longitud de la trayectoria frente al número de partículas para una simulación de un millón (1e6) de partículas comenzadas con el parámetro de impacto aleatorio, b . Una línea recta ajustada de pendiente negativa,está superpuesto. La longitud de la trayectoria, s , es equivalente al tiempo de caída, T , siempre que escalemos la velocidad (constante) de manera apropiada. Tenga en cuenta que una tasa de desintegración exponencial es una propiedad específica de la dispersión caótica hiperbólica. Los dispersores no hiperbólicos pueden tener una tasa de desintegración aritmética. [3]
Un sistema experimental y la variedad estable
La Figura 4 muestra una realización experimental del sistema Gaspard-Rice utilizando un láser en lugar de una partícula puntual. Como sabe cualquiera que haya probado esto, este no es un método muy eficaz para probar el sistema: el rayo láser se dispersa en todas las direcciones. Como lo muestran Sweet, Ott y Yorke, [5] un método más efectivo es dirigir la luz de color a través de los espacios entre los discos (o en este caso, pegar tiras de papel de colores en pares de cilindros) y ver los reflejos a través de un brecha. El resultado es un patrón complejo de rayas de colores alternos, como se muestra a continuación, que se ve más claramente en la versión simulada a continuación.
Las Figuras 5 y 6 muestran las cuencas de atracción para cada parámetro de impacto, b , es decir, para un valor dado de b , ¿a través de qué hueco sale la partícula? Los límites de la cuenca forman un conjunto de Cantor y representan miembros de la variedad estable : trayectorias que, una vez iniciadas, nunca salen del sistema.
El conjunto invariante y la dinámica simbólica
Siempre que sea simétrico, podemos pensar fácilmente en el sistema como un mapa de funciones iterado , un método común para representar un sistema dinámico y caótico. [7] La Figura 7 muestra una posible representación de las variables, con la primera variable,, que representa el ángulo alrededor del disco en el rebote y el segundo, , que representa el ángulo de impacto / rebote en relación con el disco. Un subconjunto de estas dos variables, llamado conjunto invariante, se asignará a sí mismas. Este conjunto, cuatro miembros de los cuales se muestran en las Figuras 8 y 9, será fractal , totalmente no atrayente y de medida cero. Ésta es una inversión interesante de los sistemas caóticos más discutidos normalmente en los que el conjunto invariante fractal atrae y, de hecho, comprende las cuencas de atracción. Tenga en cuenta que la naturaleza totalmente no atrayente del conjunto invariante es otra propiedad de un dispersor caótico hiperbólico.
Cada miembro del conjunto invariante se puede modelar utilizando dinámica simbólica : la trayectoria se etiqueta en función de cada uno de los discos de los que rebota. El conjunto de todas estas secuencias forma un conjunto incontable . [8] Para los cuatro miembros que se muestran en las Figuras 8 y 9, la dinámica simbólica será la siguiente: [3]
... 121212121212 ...... 232323232323 ...... 313131313131 ...... 123123123123 ...
Los miembros de la variedad estable también se pueden representar, excepto que cada secuencia tendrá un punto de partida. Cuando se considera que un miembro del conjunto invariante debe "encajar" en los límites entre dos cuencas de atracción, es evidente que, si se perturba, la trayectoria puede salir en cualquier lugar de la secuencia. Por lo tanto, también debería ser evidente que existirá un número infinito de cuencas alternas de los tres "colores" entre cualquier límite dado. [2] [3] [8]
Debido a su naturaleza inestable, es difícil acceder directamente a los miembros del conjunto invariante o de la variedad estable. El exponente de incertidumbre está idealmente diseñado para medir la dimensión fractal de este tipo de sistema. Una vez más, utilizando el parámetro de impacto único, b , realizamos múltiples ensayos con parámetros de impacto aleatorios, perturbándolos por una cantidad mínima,y contando con qué frecuencia cambia el número de rebotes de los discos, es decir, la fracción de incertidumbre. Tenga en cuenta que aunque el sistema es bidimensional, un único parámetro de impacto es suficiente para medir la dimensión fractal de la variedad estable. Esto se demuestra en la Figura 10, que muestra las cuencas de atracción representadas en función de un parámetro de impacto dual, y . La variedad estable, que se puede ver en los límites entre las cuencas, es fractal a lo largo de una sola dimensión.
La Figura 11 traza la fracción de incertidumbre, f , en función de la incertidumbre,para un sistema de simulación de Gaspard-Rice. La pendiente de la curva ajustada devuelve el exponente de incertidumbre,, por lo tanto, la dimensión de recuento de cajas del colector estable es,. El conjunto invariante es la intersección de las variedades estable e inestable . [9]
Dado que el sistema es el mismo ya sea que se ejecute hacia adelante o hacia atrás, la variedad inestable es simplemente la imagen especular de la variedad estable y sus dimensiones fractales serán iguales. [8] Sobre esta base podemos calcular la dimensión fractal del conjunto invariante: [2]
donde D_s y D_u son las dimensiones fractales de las variedades estable e inestable, respectivamente y N = 2 es la dimensionalidad del sistema. La dimensión fractal del conjunto invariante es D = 1,24.
Relación entre la dimensión fractal, la tasa de desintegración y los exponentes de Lyapunov
De la discusión anterior, debería ser evidente que la tasa de desintegración, la dimensión fractal y los exponentes de Lyapunov están todos relacionados. El gran exponente de Lyapunov, por ejemplo, nos dice qué tan rápido divergerá una trayectoria en el conjunto invariante si se perturba. De manera similar, la dimensión fractal nos dará información sobre la densidad de órbitas en el conjunto invariante. Por lo tanto, podemos ver que ambos afectarán la tasa de desintegración como se captura en la siguiente conjetura para un sistema de dispersión bidimensional: [2]
donde D 1 es la dimensión de información y h 1 y h 2 son los exponentes de Lyapunov pequeños y grandes, respectivamente. Para un atractor,y se reduce a la conjetura de Kaplan-Yorke . [2]
Ver también
Referencias
- ^ Gaspard, Pierre; Rice, Stuart A. (15 de febrero de 1989). "Dispersión de un repelente caótico clásico". La Revista de Física Química . Publicación AIP. 90 (4): 2225–2241. doi : 10.1063 / 1.456017 . ISSN 0021-9606 .
- ^ a b c d e Edward Ott (1993). Caos en sistemas dinámicos . Prensa de la Universidad de Cambridge .
- ^ a b c Yalçinkaya, Tolga; Lai, Ying-Cheng (1995). "Dispersión caótica" . Computadoras en Física . Publicación AIP. 9 (5): 511-518. doi : 10.1063 / 1.168549 . ISSN 0894-1866 .
- ^ a b c Peter Mills (2000). Un sistema de dispersión caótico clásico experimental investigado (informe técnico). Universidad de Waterloo.
- ^ David Sweet, Edward Ott y James A. Yorke. "Topología compleja en dispersión caótica: una observación de laboratorio". Naturaleza . 399 : 313.
- ^ a b Peter Mills (1998). Dispersión caótica ruidosa (tesis). Universidad de Waterloo.
- ^ Denny Gulick (1992). Encuentros con el Caos . McGraw – Hill .
- ^ a b c Bleher, Siegfried; Grebogi, Celso ; Ott, Edward (1990). "Bifurcación a dispersión caótica". Physica D: Fenómenos no lineales . Elsevier BV. 46 (1): 87-121. doi : 10.1016 / 0167-2789 (90) 90114-5 . ISSN 0167-2789 .
- ^ Ott, Edward; Tél, Tamás (1993). "Dispersión caótica: una introducción" (PDF) . Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . Publicación AIP. 3 (4): 417–426. doi : 10.1063 / 1.165949 . ISSN 1054-1500 . PMID 12780049 .
enlaces externos
- Software para simular el sistema Gaspard – Rice