Conjetura de Lander, Parkin y Selfridge
La conjetura de Lander, Parkin y Selfridge se refiere a las soluciones enteras de ecuaciones que contienen sumas de potencias similares. Las ecuaciones son generalizaciones de las consideradas en el Último Teorema de Fermat . La conjetura es que si la suma de algunas potencias k -ésimas es igual a la suma de algunas otras potencias k -ésimas, entonces el número total de términos en ambas sumas combinadas debe ser al menos k .
Las ecuaciones diofánticas , como la versión entera de la ecuación a 2 + b 2 = c 2 que aparece en el teorema de Pitágoras , han sido estudiadas por sus propiedades de solución entera durante siglos. El último teorema de Fermat establece que para potencias mayores que 2, la ecuación a k + b k = c k no tiene soluciones en números enteros distintos de cero a , b , c . Extender el número de términos en uno o ambos lados, y permitiendo potencias superiores a 2, llevó a Leonhard Euler a proponer en 1769 que para todos los números enteros n y k mayores que 1, si la suma de las n k -ésimas potencias de los enteros positivos es en sí misma una k -ésima potencia , entonces n es mayor o igual que k .
En símbolos, si donde n > 1 y son números enteros positivos, entonces su conjetura fue que n ≥ k .
En 1966 , Leon J. Lander y Thomas R. Parkin encontraron un contraejemplo a la conjetura de la suma de potencias de Euler para k = 5: [1]
En años posteriores, se encontraron más contraejemplos , incluso para k = 4. Este último refutó la conjetura cuartica de Euler más específica , a saber, que a 4 + b 4 + c 4 = d 4 no tiene soluciones enteras positivas. De hecho, la solución más pequeña, encontrada en 1988, es
En 1967, LJ Lander, TR Parkin y John Selfridge conjeturaron [2] que si , donde a i ≠ b j son números enteros positivos para todo 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ m , entonces m + n ≥ k . La fórmula de la suma igual de potencias similares a menudo se abrevia como ( k , m , n ).
