Conjetura de la suma de potencias de Euler
La conjetura de Euler es una conjetura refutada en matemáticas relacionada con el último teorema de Fermat . Fue propuesto por Leonhard Euler en 1769. Establece que para todos los números enteros n y k mayores que 1, si la suma de n muchas k -ésimas potencias de enteros positivos es en sí misma una k -ésima potencia, entonces n es mayor o igual que k :
La conjetura representa un intento de generalizar el último teorema de Fermat, que es el caso especial n = 2 : si un k
1 + un k
2 = segundo k , luego 2 ≥ k .
Aunque la conjetura se cumple para el caso k = 3 (que se deriva del último teorema de Fermat para las terceras potencias), se refutó para k = 4 y k = 5 . Se desconoce si la conjetura falla o se cumple para cualquier valor k ≥ 6 .
Euler era consciente de la igualdad 59 4 + 158 4 = 133 4 + 134 4 que implicaba sumas de cuatro cuartas potencias; sin embargo, esto no es un contraejemplo porque ningún término está aislado en un lado de la ecuación. También proporcionó una solución completa al problema de los cuatro cubos como en el número 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3 de Platón o el taxi número 1729. [1] [2] La solución general de la ecuación
La conjetura de Euler fue refutada por LJ Lander y TR Parkin en 1966 cuando, a través de una búsqueda directa por computadora en un CDC 6600 , encontraron un contraejemplo para k = 5 . [3] Esto se publicó en un artículo que constaba de solo dos oraciones. [3] Se conocen un total de tres contraejemplos primitivos (es decir, en los que los sumandos no tienen todos un factor común):
En 1988, Noam Elkies publicó un método para construir una secuencia infinita de contraejemplos para el caso k = 4 . [4] Su contraejemplo más pequeño fue
