En geometría algebraica , el teorema de Lang , introducido por Serge Lang , establece: si G es un grupo algebraico suave conectado sobre un campo finito , entonces, escribiendo para el Frobenius, el morfismo de las variedades
es sobreyectiva. Tenga en cuenta que el núcleo de este mapa (es decir,) es precisamente .
El teorema implica que desaparece, [1] y, en consecuencia, cualquier paquete G enes isomorfo al trivial. Además, el teorema juega un papel básico en la teoría de grupos finitos de tipo Lie .
No es necesario que G sea afín. Por lo tanto, el teorema también se aplica a las variedades abelianas (por ejemplo, curvas elípticas ). De hecho, esta aplicación fue la motivación inicial de Lang. Si G es afín, el Frobenius puede ser reemplazado por cualquier mapa sobreyectivo con un número finito de puntos fijos (ver más abajo para la declaración precisa).
La prueba (que se da a continuación) en realidad pasa por cualquier que induce un operador nilpotent en el álgebra de Lie de G . [2]
El teorema de Lang-Steinberg
Steinberg ( 1968 ) proporcionó una mejora útil al teorema.
Supongamos que F es un endomorfismo de un grupo algebraico G . El mapa de Lang es el mapa de G a G que lleva de g a g −1 F ( g ).
El teorema de Lang-Steinberg establece [3] que si F es sobreyectiva y tiene un número finito de puntos fijos, y G es un grupo algebraico afín conectado sobre un campo algebraicamente cerrado, entonces el mapa de Lang es sobreyectivo.
Prueba del teorema de Lang
Definir:
Entonces (identificando el espacio tangente en a con el espacio tangente en el elemento de identidad) tenemos:
dónde . Sigue es biyectiva ya que el diferencial de Frobenius desaparece. Desde, también vemos que es biyectiva para cualquier b . [4] Sea X el cierre de la imagen de. Los puntos lisos de X forman un subconjunto denso abierto; por lo tanto, hay algo de b en G tal quees un punto de suave X . Dado que el espacio tangente a X eny el espacio tangente a G en b tiene la misma dimensión, se sigue que X y G tienen la misma dimensión, ya que G es suave. Dado que G está conectado, la imagen dea continuación, contiene un subconjunto denso abierto U de G . Ahora, dado un elemento arbitrario a en G , por el mismo razonamiento, la imagen decontiene un subconjunto denso abierto V de G . La intersecciónentonces no está vacío, pero esto implica que a está en la imagen de.
Notas
- ^ Esta es la "definición de desenrollado". Aquí,es la cohomología de Galois ; cf. Milne, teoría del campo de clases.
- ^ Springer 1998 , ejercicio 4.4.18.
- ↑ Steinberg 1968 , Teorema 10.1
- ^ Esto implica quees étale .
Referencias
- TA Springer, "Grupos algebraicos lineales", 2ª ed. 1998.
- Lang, Serge (1956), "Grupos algebraicos sobre campos finitos", American Journal of Mathematics , 78 : 555–563, doi : 10.2307 / 2372673 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372673 , MR 0086367
- Steinberg, Robert (1968), Endomorfismos de grupos algebraicos lineales , Memorias de la American Mathematical Society, No. 80, Providence, RI: American Mathematical Society , MR 0230728