En cristalografía , las ecuaciones de Laue relacionan las ondas entrantes con las ondas salientes en el proceso de difracción por una red cristalina . Llevan el nombre del físico Max von Laue (1879-1960). Se reducen a la ley de Bragg .
Dejar ser los vectores primitivos de la red cristalina, cuyos átomos se encuentran en los puntos que son combinaciones lineales enteras de los vectores primitivos.
Dejar ser el vector de onda del haz entrante (incidente), y seaser el vector de onda del haz saliente (difractado). Entonces el vectorse llama vector de dispersión (también llamado vector de onda transferido) y mide el cambio entre los dos vectores de onda.
Las tres condiciones en las que el vector de dispersión deben satisfacer, llamadas ecuaciones de Laue , son las siguientes: los números determinado por las ecuaciones
deben ser números enteros . Cada elección de los enteros, llamados índices de Miller , determina un vector de dispersión. Por tanto, hay infinitos vectores de dispersión que satisfacen las ecuaciones de Laue. Forman una celosía, llamado enrejado recíproco del enrejado cristalino. Esta condición permite que un solo haz incidente sea difractado en infinitas direcciones. Sin embargo, los haces que corresponden a índices de Miller altos son muy débiles y no se pueden observar. Estas ecuaciones son suficientes para encontrar una base de la red recíproca, a partir de la cual se puede determinar la red cristalina. Este es el principio de la cristalografía de rayos x .
Los haces incidente y difractado son excitaciones de ondas planas.
de un campo que por simplicidad tomamos como escalar, aunque el caso principal de interés es el campo electromagnético, que es vectorial.
Las dos ondas se propagan por el espacio de forma independiente, excepto en los puntos de la celosía, donde resuenan con los osciladores, por lo que su fase debe coincidir. [1] Por lo tanto, para cada punto de la celosía tenemos
o equivalentemente, debemos tener
por algún entero , eso depende del punto . Simplificando obtenemos
Ahora, basta con comprobar que esta condición se cumple en los vectores primitivos (que es exactamente lo que dicen las ecuaciones de Laue), porque entonces para los otros puntos tenemos
dónde es el entero .
Esto asegura que si se cumplen las ecuaciones de Laue, entonces la onda entrante y saliente tienen la misma fase en todos los puntos de la red cristalina, por lo que la oscilación de los átomos, que sigue a la onda entrante, puede generar al mismo tiempo la onda saliente. .
Si es el vector de red recíproco , sabemos por definición de los vectores de base de red recíprocos que, dónde es un número entero (usamos la definición de un vector reticular recíproco que da el factor de ). Pero observe que esto no es más que las ecuaciones de Laue. Por lo tanto identificamos, esto a veces se denomina condición de Laue. En cierto sentido, los patrones de difracción son una forma de medir experimentalmente la red recíproca.
Reescribiendo la condición de Laue: [2]
Aplicar la condición de dispersión elástica a la ecuación anterior, obtenemos:
- .
Esencialmente, la condición de Laue es la conservación de la cantidad de movimiento y es una consecuencia de la afirmación muy general de que la cantidad de movimiento del cristal solo se conserva hasta un vector reticular recíproco, mientras que la condición elástica es la conservación de la energía transportada por los rayos X (es decir, el cristal no gana energía por la dispersión de la radiación).
El resultado es una ecuación para un plano (geometría) . El vectorespecifica un conjunto de planos de Bragg en el espacio recíproco normal a él. Tenga en cuenta que esto implica un conjunto correspondiente de planos de Bragg en el espacio real , es decir, soluciones enteras para a la ecuación para coeficientes enteros y el orden . Los vectores, , y forman un triángulo isósceles. Esto significa que los rayos X aparentemente se "reflejan" en estos planos en el mismo ángulo que su ángulo de aproximación. (con respecto al avión).
Dado que el ángulo entre y es , esto implica que . Claramente,. Si la constante de celosía es, luego ; esto se debe a que, por definición, requerimos, y además podemos elegir un conjunto de planos de Bragg en el espacio real con separación entre planos , y sin perder la generalidad elige Paralelo a . Con estos, ahora recuperamos la ley de Bragg :