En geometría y cristalografía , una red de Bravais , llamada así por Auguste Bravais ( 1850 ), [1] es una matriz infinita de puntos discretos generados por un conjunto de operaciones de traducción discretas descritas en el espacio tridimensional por:
donde n i son números enteros y a i son vectores primitivos que se encuentran en diferentes direcciones (no necesariamente perpendiculares entre sí) y abarcan la red. La elección de vectores primitivos para una red de Bravais dada no es única. Un aspecto fundamental de cualquier celosía de Bravais es que, para cualquier elección de dirección, la celosía aparecerá exactamente igual desde cada uno de los puntos de celosía discretos al mirar en la dirección elegida.
El concepto de celosía de Bravais se utiliza para definir formalmente una disposición cristalina y sus fronteras (finitas). Un cristal está formado por una disposición periódica de uno o más átomos (la base o motivo ) en cada punto de la red. La base puede consistir en átomos , moléculas o cadenas de polímeros de materia sólida .
Dos celosías de Bravais a menudo se consideran equivalentes si tienen grupos de simetría isomórfica. En este sentido, hay 14 celosías de Bravais posibles en el espacio tridimensional. Los 14 posibles grupos de simetría de las celosías de Bravais son 14 de los 230 grupos espaciales . En el contexto de la clasificación del grupo espacial, las celosías de Bravais también se denominan clases de Bravais, clases aritméticas de Bravais o bandadas de Bravais. [2]
Celda unitaria
En cristalografía, el concepto de celosía de Bravais de una matriz infinita de puntos discretos se expande utilizando el concepto de celda unitaria que incluye el espacio entre los puntos de celosía discretos, así como cualquier átomo en ese espacio. Hay dos tipos principales de celdas unitarias: celdas primitivas y celdas convencionales.
Una celda unitaria primitiva para una celosía de Bravais determinada se puede elegir de más de una forma (cada forma tiene una forma diferente), pero cada forma tendrá el mismo volumen y cada forma tendrá la propiedad de que una correspondencia uno a uno puede establecerse entre las celdas unitarias primitivas y los puntos de celosía discretos. La celda primitiva obvia para asociar con una elección particular de vectores primitivos es el paralelepípedo formado por ellos. [3] Es decir, el conjunto de todos los puntos r de la forma:
El uso del paralelepípedo definido por los vectores primitivos como celda unitaria tiene la desventaja en algunos casos de no revelar claramente la simetría completa de la red. La solución a esto es utilizar una celda convencional que muestre la simetría completa de la celosía. El volumen de la celda convencional será un múltiplo entero del volumen de la celda unitaria primitiva.
En 2 dimensiones
En el espacio bidimensional, hay 5 celosías de Bravais, [4] agrupadas en cuatro familias de cristales .
Nota: En los diagramas de celdas unitarias de la siguiente tabla, los puntos de celosía se representan mediante círculos negros y las celdas unitarias se representan mediante paralelogramos (que pueden ser cuadrados o rectángulos) delineados en negro. Aunque cada una de las cuatro esquinas de cada paralelogramo se conecta a un punto de celosía, solo uno de los cuatro puntos de celosía pertenece técnicamente a una celda unitaria determinada y cada uno de los otros tres puntos de celosía pertenece a una de las celdas unitarias adyacentes. Esto se puede ver imaginando moviendo el paralelogramo de celda unitaria ligeramente hacia la izquierda y ligeramente hacia abajo, dejando fijos todos los círculos negros de los puntos de la red.
Familia de cristal | Grupo de puntos ( notación Schönflies ) | 5 celosías Bravais | |
---|---|---|---|
Primitivo (p) | Centrado (c) | ||
Monoclínico (m) | C 2 | Oblicua (mp) | |
Ortorrómbico (o) | D 2 | Rectangular (op) | Rectangular centrado (oc) |
Tetragonal (t) | D 4 | Cuadrado (tp) | |
Hexagonal (h) | D 6 | Hexagonal (hp) |
Las celdas unitarias son especificados de acuerdo con las longitudes relativas de los bordes de la celda ( un y b ) y el ángulo entre ellos ( θ ). El área de la celda unitaria se puede calcular evaluando la norma || a × b || , Donde un y b son los vectores de la red. Las propiedades de las familias de cristales se dan a continuación:
Familia de cristal | Área | Distancias axiales (longitudes de los bordes) | Ángulo axial |
---|---|---|---|
Monoclínica | a ≠ b | θ ≠ 90 ° | |
Ortorrómbico | a ≠ b | θ = 90 ° | |
Tetragonal | a = b | θ = 90 ° | |
Hexagonal | a = b | θ = 120 ° |
En 3 dimensiones
En el espacio tridimensional, hay 14 celosías de Bravais. Estos se obtienen combinando uno de los siete sistemas de celosía con uno de los tipos de centrado. Los tipos de centrado identifican las ubicaciones de los puntos de celosía en la celda unitaria de la siguiente manera:
- Primitivo (P): puntos de celosía solo en las esquinas de la celda (a veces llamados simples)
- Centrado en la base (A, B o C): puntos de celosía en las esquinas de la celda con un punto adicional en el centro de cada cara de un par de caras paralelas de la celda (a veces llamado centrado en el extremo)
- Centrado en el cuerpo (I): puntos de celosía en las esquinas de la celda, con un punto adicional en el centro de la celda
- Centrado en la cara (F): puntos de celosía en las esquinas de la celda, con un punto adicional en el centro de cada una de las caras de la celda
No todas las combinaciones de sistemas de celosía y tipos de centrado son necesarias para describir todas las celosías posibles, ya que se puede demostrar que varias de ellas son de hecho equivalentes entre sí. Por ejemplo, la red monoclínica I puede describirse mediante una red monoclínica C mediante una elección diferente de ejes cristalinos. De manera similar, todas las celosías centradas en A o B pueden describirse mediante un centrado en C o en P. Esto reduce el número de combinaciones a 14 celosías Bravais convencionales, que se muestran en la siguiente tabla. [5] Debajo de cada diagrama está el símbolo de Pearson para esa celosía de Bravais.
Nota: En los diagramas de celdas unitarias de la siguiente tabla se muestran todos los puntos de celosía en el límite de la celda (esquinas y caras); sin embargo, técnicamente no todos estos puntos de celosía pertenecen a la celda unitaria dada. Esto se puede ver imaginando moviendo la celda unitaria ligeramente en la dirección negativa de cada eje mientras se mantienen fijos los puntos de celosía. En términos generales, se puede pensar en esto como mover la celda unitaria ligeramente hacia la izquierda, ligeramente hacia abajo y ligeramente fuera de la pantalla. Esto muestra que solo uno de los ocho puntos de celosía de las esquinas (específicamente el frontal, izquierdo, inferior) pertenece a la celda unitaria dada (los otros siete puntos de celosía pertenecen a celdas unitarias adyacentes). Además, solo uno de los dos puntos de celosía que se muestran en la cara superior e inferior de la columna centrada en la base pertenece a la celda unitaria dada. Finalmente, solo tres de los seis puntos de celosía en las caras de la columna Centrada en caras pertenecen a la celda unitaria dada.
Familia de cristal | Sistema de celosía | Grupo de puntos ( notación Schönflies ) | 14 celosías Bravais | |||
---|---|---|---|---|---|---|
Primitivo (P) | Centrado en la base (S) | Centrado en el cuerpo (I) | Centrado en la cara (F) | |||
Triclínico (a) | C i | AP | ||||
Monoclínico (m) | C 2h | mP | Sra | |||
Ortorrómbico (o) | D 2h | oP | oS | oI | de | |
Tetragonal (t) | D 4h | tP | tI | |||
Hexagonal (h) | Romboédrico | D 3d | hora | |||
Hexagonal | D 6h | HP | ||||
Cúbico (c) | O h | cP | cI | cF |
Las celdas unitarias se especifican de acuerdo con seis parámetros de celosía que son las longitudes relativas de los bordes de la celda ( a , b , c ) y los ángulos entre ellos ( α , β , γ ). El volumen de la celda unitaria se puede calcular mediante la evaluación del producto triple de un · ( b × c ) , donde a , b , y c son los vectores de la red. Las propiedades de los sistemas de celosía se dan a continuación:
Familia de cristal | Sistema de celosía | Volumen | Distancias axiales (longitudes de los bordes) [6] | Ángulos axiales [6] | Ejemplos correspondientes |
---|---|---|---|---|---|
Triclínico | (Todos los casos restantes) | K 2 Cr 2 O 7 , CuSO 4 · 5H 2 O , H 3 BO 3 | |||
Monoclínica | a ≠ c | α = γ = 90 °, β ≠ 90 ° | Azufre monoclínico , Na 2 SO 4 · 10H 2 O , PbCrO 3 | ||
Ortorrómbico | a ≠ b ≠ c | α = β = γ = 90 ° | Azufre rómbico , KNO 3 , BaSO 4 | ||
Tetragonal | a = b ≠ c | α = β = γ = 90 ° | Estaño blanco , SnO 2 , TiO 2 , CaSO 4 | ||
Hexagonal | Romboédrico | a = b = c | α = β = γ ≠ 90 ° | Calcita (CaCO 3 ), cinabrio (HgS) | |
Hexagonal | a = b | α = β = 90 °, γ = 120 ° | Grafito , ZnO , CdS | ||
Cúbico | a = b = c | α = β = γ = 90 ° | NaCl , mezcla de zinc , cobre metálico , KCl , diamante , plata |
En 4 dimensiones
En cuatro dimensiones, hay 64 celosías Bravais. De estos, 23 son primitivos y 41 están centrados. Diez celosías de Bravais se dividen en pares enantiomórficos . [7]
Ver también
- Hábito de cristal
- Sistema de cristal
- Índice de Miller
- Operador de traducción (mecánica cuántica)
- Simetría traslacional
- Eje de zona
Referencias
- ^ Aroyo, Mois I .; Müller, Ulrich; Wondratschek, Hans (2006). "Introducción histórica" . Tablas internacionales de cristalografía . A1 (1,1): 2–5. CiteSeerX 10.1.1.471.4170 . doi : 10.1107 / 97809553602060000537 . Archivado desde el original el 4 de julio de 2013 . Consultado el 21 de abril de 2008 .
- ^ "Clase Bravais" . Diccionario en línea de Cristalografía . IUCr . Consultado el 8 de agosto de 2019 .
- ^ Ashcroft, Neil W. (1976). "Capítulo 4". Física del estado sólido . Compañía WB Saunders. pag. 72. ISBN 0-03-083993-9.
- ^ Kittel, Charles (1996) [1953]. "Capítulo 1" . Introducción a la física del estado sólido (Séptima ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. pag. 10. ISBN 978-0-471-11181-8. Consultado el 21 de abril de 2008 .
- ^ Basado en la lista de células convencionales encontrada en Hahn (2002) , p. 744
- ↑ a b Hahn (2002) , p. 758
- ^ Brown, Harold; Bülow, Rolf; Neubüser, Joachim; Wondratschek, Hans; Zassenhaus, Hans (1978), Grupos cristalográficos de espacio tetradimensional , Nueva York: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], ISBN 978-0-471-03095-9, MR 0484179
Otras lecturas
- Bravais, A. (1850). "Mémoire sur les systèmes formés par les points distribués régulièrement sur un plan ou dans l'espace" [Memoria sobre los sistemas formados por puntos distribuidos regularmente en un plano o en el espacio]. J. École Polytech . 19 : 1-128. (Inglés: Memoir 1, Crystallographic Society of America, 1949.)
- Hahn, Theo, ed. (2002). Tablas internacionales de cristalografía, Volumen A: Simetría de grupos espaciales . Tablas internacionales de cristalografía. A (5ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi : 10.1107 / 97809553602060000100 . ISBN 978-0-7923-6590-7.
enlaces externos
- Catálogo de celosías (por Nebe y Sloane)
- Smith, Walter Fox (2002). "La canción de Bravais Lattices" .