En geometría , biología , mineralogía y física del estado sólido , una celda unitaria es una unidad repetitiva formada por los vectores que abarcan los puntos de una red. [1] La geometría de la celda unitaria se define como un paralelootopo en n dimensiones.
El concepto se utiliza particularmente para describir la estructura cristalina en dos y tres dimensiones, aunque tiene sentido en todas las dimensiones. Una celosía se puede caracterizar por la geometría de su celda unitaria. La celda unitaria es una sección del mosaico (un paralelogramo o paralelepípedo ) que genera el mosaico completo usando solo traslaciones, y es lo más pequeña posible.
Hay dos casos especiales de la celda unitaria: la celda primitiva y la celda convencional . La celda primitiva es una celda unitaria correspondiente a un solo punto de celosía . En algunos casos, la simetría completa de una estructura cristalina no es obvia a partir de la celda primitiva, en cuyo caso se puede usar una celda convencional. Una celda convencional (que puede ser primitiva o no) es la celda unitaria más pequeña con la simetría completa de la celosía y puede incluir más de un punto de celosía.
Celda primitiva
Una celda primitiva es una celda unitaria que contiene exactamente uno y solo un punto de celosía. Para las celdas unitarias en general, los puntos de celosía que son compartidos por n celdas se cuentan como1/nortede los puntos de celosía contenidos en cada una de esas celdas; así, por ejemplo, una celda unitaria primitiva en tres dimensiones que tiene puntos de celosía solo en sus ocho vértices se considera que contiene 1/8de cada uno de ellos. [2] Una conceptualización alternativa es elegir consistentemente sólo uno de los n puntos de la red para que pertenezca a la celda unitaria dada (por lo que los otros 1-n puntos de la red pertenecen a celdas unitarias adyacentes).
Los vectores de traducción primitivos a → 1 , a → 2 , a → 3 abarcan una celda de celosía de menor volumen para una celosía tridimensional particular, y se utilizan para definir un vector de traducción de cristal
donde u 1 , u 2 , u 3 son números enteros, traducción por la cual deja la celosía invariante. [nota 1] Es decir, para un punto en la red r , la disposición de los puntos parece la misma de r ′ = r + T → que de r . [3]
Dado que la celda primitiva está definida por los ejes primitivos (vectores) a → 1 , a → 2 , a → 3 , el volumen V p de la celda primitiva viene dado por el paralelepípedo de los ejes anteriores como
Celda convencional
Una celda convencional es la celda unitaria más pequeña cuyos ejes siguen los ejes de simetría de la estructura cristalina. Tales celdas convencionales pueden tener puntos de celosía adicionales ubicados en el medio de las caras o el cuerpo de la celda unitaria. El número de puntos de celosía, así como el volumen, de la celda convencional es un múltiplo entero (típicamente 1, 2, 3 o 4) del de la celda primitiva. [4]
Dos dimensiones
Para cualquier celosía bidimensional, las celdas unitarias son paralelogramos , que en casos especiales pueden tener ángulos ortogonales, longitudes iguales o ambas. Algunas de las cinco celosías de Bravais bidimensionales se representan utilizando celdas primitivas convencionales, como se muestra a continuación.
Celda primitiva convencional | |||
---|---|---|---|
Nombre de la forma | Paralelogramo | Rectángulo | Cuadrado |
Celosía Bravais | Oblicuo primitivo | Rectangular primitivo | Cuadrado primitivo |
La celosía rectangular centrada también tiene una celda primitiva en forma de rombo, pero para permitir una fácil discriminación sobre la base de la simetría, está representada por una celda convencional que contiene dos puntos de celosía.
Celda primitiva | |
---|---|
Nombre de la forma | Rombo |
Celda convencional | |
Celosía Bravais | Rectangular centrado |
Tres dimensiones
Para cualquier celosía tridimensional, las celdas unitarias son paralelepípedos , que en casos especiales pueden tener ángulos ortogonales, longitudes iguales o ambas. Algunas de las catorce celosías de Bravais tridimensionales se representan utilizando células primitivas convencionales, como se muestra a continuación.
Celda primitiva convencional | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Nombre de la forma | Paralelepípedo | Prisma rectangular oblicuo | Cuboide rectangular | Cuboide cuadrado | Trapezoedro trigonal | Cubo |
Celosía Bravais | Triclínica primitiva | Monoclínico primitivo | Ortorrómbico primitivo | Tetragonal primitivo | Romboédrico primitivo | Cúbico primitivo |
Las otras celosías de Bravais también tienen celdas primitivas en forma de paralelepípedo, pero para permitir una fácil discriminación sobre la base de la simetría, están representadas por celdas convencionales que contienen más de un punto de celosía.
Celda primitiva | ||
---|---|---|
Nombre de la forma | Prisma rómbico oblicuo | Prisma rómbico derecho |
Celda convencional | ||
Celosía Bravais | Monoclínico centrado en la base | Ortorrómbico centrado en la base |
Celda de Wigner-Seitz
Una alternativa a la celda unitaria, por cada celosía de Bravais hay otro tipo de celda llamada celda de Wigner-Seitz. En la celda de Wigner-Seitz, el punto de la celosía está en el centro de la celda y, para la mayoría de las celosías de Bravais, la forma no es un paralelogramo ni un paralelepípedo. Este es un tipo de celda de Voronoi . La celda de Wigner-Seitz del retículo recíproco en el espacio de momento se llama zona de Brillouin .
Ver también
- Celda de Wigner-Seitz
- Celosía Bravais
- Grupo de papel tapiz
- Grupo espacial
Notas
- ^ En n dimensiones, el vector de traslación del cristal sería
Referencias
- ^ Ashcroft, Neil W. (1976). "Capítulo 4". Física del estado sólido . Compañía WB Saunders. pag. 72. ISBN 0-03-083993-9.
- ^ "DoITPoMS - Cristalografía de biblioteca TLP - Unidad de celda" . Recursos de aprendizaje de ciencia de materiales en línea: DoITPoMS . Universidad de Cambridge . Consultado el 21 de febrero de 2015 .
- ^ Kittel, Charles. Introducción a la física del estado sólido (8 ed.). Wiley. pag. 4 . ISBN 978-0-471-41526-8.
- ^ Ashcroft, Neil W. (1976). Física del estado sólido . Compañía WB Saunders. pag. 73. ISBN 0-03-083993-9.