En matemáticas, una topología de Lawvere-Tierney es un análogo de una topología de Grothendieck para un topos arbitrario, que se utiliza para construir un topos de roldanas. Una topología de Lawvere-Tierney a veces también se denomina operador local o cobertura o topología o modalidad geométrica . Fueron presentados por William Lawvere ( 1971 ) y Myles Tierney .
Definición
Si E es un topos, entonces una topología en E es un morfismo j del clasificador de subobjetos Ω a Ω tal que j preserva la verdad (), conserva las intersecciones (), y es idempotente ().
j- cierre
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/a/a7/J-closure.png/400px-J-closure.png)
Dado un subobjeto de un objeto A con clasificador, luego la composición define otro subobjeto de A tal que s es un subobjeto de, y se dice que es el j - cierre de s .
Algunos teoremas relacionados con j -cierre son (para algunos subobjetos s y w de A ):
- propiedad inflacionaria:
- idempotencia:
- preservación de intersecciones:
- preservación del orden:
- estabilidad bajo retroceso: .
Ejemplos de
Topologías Grothendieck en una pequeña categoría C son esencialmente los mismos que topologías Lawvere-Tierney en el topos de prehaces de conjuntos de más de C .
Referencias
- Lawvere, FW (1971), "Quantifiers and sheaves" (PDF) , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Niza, 1970) , 1 , París: Gauthier-Villars, págs. 329–334, MR 0430021 , S2CID 2337874
- Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1994), Gavillas en geometría y lógica. Una primera introducción a la teoría topos , Universitext, Nueva York: Springer-Verlag. Reimpresión corregida de la edición de 1992.
- McLarty, Colin (1995) [1992], Categorías elementales, Topos elementales , Guías lógicas de Oxford, Nueva York: Oxford University Press, p. 196