Los términos (o correcciones ) de primer orden dentro de una ecuación , expresión o modelo matemático son los términos con el mayor orden de magnitud . [1] [2] Los tamaños de los diferentes términos en la (s) ecuación (es) cambiarán a medida que cambien las variables y, por lo tanto, también pueden cambiar qué términos son de orden inicial.
Una forma común y poderosa de simplificar y comprender una amplia variedad de modelos matemáticos complicados es investigar qué términos son los más grandes (y, por lo tanto, los más importantes), para tamaños particulares de variables y parámetros, y analizar el comportamiento producido solo por estos términos ( considerando los otros términos menores como insignificantes). [3] [4] Esto da el comportamiento principal - el verdadero comportamiento es sólo pequeñas desviaciones de este. Este comportamiento principal puede captarse suficientemente bien solo con los términos estrictamente de primer orden, o puede decidirse que también se deben incluir términos un poco más pequeños. En cuyo caso, la frase términos de orden inicialpodría usarse informalmente para referirse a todo este grupo de términos. El comportamiento producido solo por el grupo de términos de orden principal se denomina comportamiento de orden principal del modelo.
Ejemplo básico
X | 0,001 | 0,1 | 0,5 | 2 | 10 |
---|---|---|---|---|---|
x 3 | 0,000000001 | 0,001 | 0,125 | 8 | 1000 |
5 veces | 0,005 | 0,5 | 2.5 | 10 | 50 |
0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 |
y | 0.105000001 | 0,601 | 2.725 | 18,1 | 1050.1 |
Considere la ecuación y = x 3 + 5 x + 0.1. Para cinco valores diferentes de x , la tabla muestra los tamaños de los cuatro términos en esta ecuación y qué términos son de orden inicial. A medida que x aumenta más, los términos de orden principal permanecen como x 3 e y , pero a medida que x disminuye y luego se vuelve cada vez más negativo, los términos de orden principal cambian de nuevo.
No existe un límite estricto para determinar cuándo dos términos deben o no considerarse aproximadamente del mismo orden o magnitud. Una posible regla general es que dos términos que están dentro de un factor de 10 (un orden de magnitud) entre sí deben considerarse aproximadamente del mismo orden, y dos términos que no están dentro de un factor de 100 (dos órdenes de magnitud) el uno del otro no debería. Sin embargo, en el medio hay un área gris, por lo que no hay límites fijos en los que los términos deben considerarse aproximadamente de orden inicial y en los que no. En cambio, los términos aparecen y desaparecen a medida que cambian las variables. Decidir si los términos en un modelo son de orden principal (o aproximadamente de orden principal) y, en caso contrario, si son lo suficientemente pequeños como para ser considerados insignificantes (dos preguntas diferentes), es a menudo una cuestión de investigación y juicio, y será dependen del contexto.
Comportamiento de orden de liderazgo
Las ecuaciones con un solo término de orden inicial son posibles, pero raras [ dudoso ] . Por ejemplo, la ecuación 100 = 1 + 1 + 1 + ... + 1, (donde el lado derecho comprende cien unos). Para cualquier combinación particular de valores para las variables y parámetros, una ecuación normalmente contendrá al menos dos términos de orden inicial y otros términos de orden inferior . En este caso, asumiendo que los términos de orden inferior y las partes de los términos de orden inicial que tienen el mismo tamaño que los términos de orden inferior (quizás la segunda o tercera cifra significativa en adelante), son insignificantes, un se puede formar una nueva ecuación eliminando todos estos términos de orden inferior y partes de los términos de orden inicial. Los términos restantes proporcionan la ecuación de orden principal , o el equilibrio de orden principal , [5] o el equilibrio dominante , [6] [7] [8] y crear una nueva ecuación que solo involucre estos términos se conoce como tomar una ecuación para llevar a orden . Las soluciones de esta nueva ecuación se denominan soluciones de primer orden [9] [10] de la ecuación original. Analizando el comportamiento dado por esta nueva ecuación se obtiene el comportamiento de orden adelantado [11] [12] del modelo para estos valores de las variables y parámetros. El tamaño del error al hacer esta aproximación es normalmente aproximadamente el tamaño del término mayor desatendido.
Suponga que queremos comprender el comportamiento del orden principal del ejemplo anterior.
- Cuando x = 0,001, los términos x 3 y 5 x pueden considerarse insignificantes y descartados, junto con cualquier valor del tercer decimal en adelante en los dos términos restantes. Esto da el saldo de orden adelantado y = 0.1. Por tanto, el comportamiento de orden adelantado de esta ecuación en x = 0,001 es que y es constante.
- De manera similar, cuando x = 10, los términos 5 x y 0.1 pueden considerarse insignificantes y descartados, junto con cualquier valor en la tercera cifra significativa en adelante en los dos términos restantes. Esto da el saldo de primer orden y = x 3 . Por tanto, el comportamiento de orden adelantado de esta ecuación en x = 10 es que y aumenta cúbicamente con x .
Por tanto, el comportamiento principal de y puede investigarse con cualquier valor de x . El comportamiento de orden inicial es más complicado cuando hay más términos en orden inicial. En x = 2 hay un equilibrio de orden adelantado entre las dependencias cúbica y lineal de y sobre x .
Tenga en cuenta que esta descripción de la búsqueda de equilibrios y comportamientos de orden principal solo proporciona una descripción general del proceso; no es matemáticamente rigurosa.
Pedido siguiente al líder
Por supuesto, y en realidad no es completamente constante en x = 0,001; este es solo su comportamiento principal en las proximidades de este punto. Puede ser que retener solo los términos del orden principal (o aproximadamente del orden principal), y considerar todos los demás términos más pequeños como insignificantes, sea insuficiente (cuando se usa el modelo para predicciones futuras, por ejemplo), por lo que puede ser necesario para retener también el conjunto de los siguientes términos más grandes. Estos pueden denominarse términos o correcciones de orden siguiente al primer orden (NLO). [13] [14] El siguiente conjunto de términos hacia abajo después de ese se puede llamar los términos o correcciones del orden siguiente al siguiente al primer orden (NNLO). [15]
Uso
Expansiones asintóticas emparejadas
Las técnicas de simplificación de primer orden se utilizan junto con el método de expansiones asintóticas emparejadas , cuando la solución aproximada precisa en cada subdominio es la solución de primer orden. [3] [16] [17]
Para escenarios particulares de flujo de fluidos, las ecuaciones de Navier-Stokes (muy generales) pueden simplificarse considerablemente al considerar solo los componentes de primer orden. Por ejemplo, las ecuaciones de flujo de Stokes . [18] Además, las ecuaciones de película delgada de la teoría de la lubricación .
Ver también
- Valoración , una generalización algebraica del "orden principal"
Referencias
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- ^ Notas del curso de NYU
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- ^ Notas de la Universidad de Cornell