En análisis numérico , la cuadratura de Lebedev , llamada así por Vyacheslav Ivanovich Lebedev , es una aproximación a la integral de superficie de una función sobre una esfera tridimensional . La cuadrícula está construida para tener rotación octaédrica y simetría de inversión. El número y la ubicación de los puntos de la cuadrícula junto con un conjunto correspondiente de pesos de integración se determinan imponiendo la integración exacta de polinomios (o equivalentemente, armónicos esféricos ) hasta un orden dado, lo que lleva a una secuencia de cuadrículas cada vez más densas análogas a la -Esquema de Gauss-Legendre dimensional .
La cuadrícula de Lebedev se emplea a menudo en la evaluación numérica de integrales de volumen en el sistema de coordenadas esféricas , donde se combina con un esquema de integración unidimensional para la coordenada radial. Las aplicaciones de la cuadrícula se encuentran en campos como la química computacional y el transporte de neutrones . [1] [2]
Integrales angulares
La integral de superficie de una función sobre la esfera unitaria,
se aproxima en el esquema de Lebedev como
donde se determinarán los puntos de cuadrícula particulares y los pesos de la cuadrícula. El uso de una sola suma, en lugar de dos esquemas unidimensionales de discretizar las integrales θ y φ individualmente, conduce a un procedimiento más eficiente: se requieren menos puntos de cuadrícula totales para obtener una precisión similar. Un factor en competencia es la aceleración computacional disponible cuando se usa el producto directo de dos cuadrículas unidimensionales. A pesar de esto, la red de Lebedev sigue superando a las de productos. [3] Sin embargo, el uso de dos integraciones unidimensionales permite un mejor ajuste de las cuadrículas y simplifica el uso de cualquier simetría del integrando para eliminar puntos de cuadrícula equivalentes a la simetría.
Construcción
Los puntos de la cuadrícula de Lebedev están construidos de manera que se encuentren en la superficie de la esfera unitaria tridimensional y sean invariantes bajo el grupo de rotación octaédrico con inversión. [4] Para cualquier punto de la esfera, hay cinco, siete, once, veintitrés o cuarenta y siete puntos equivalentes con respecto al grupo octaédrico, todos los cuales están incluidos en la cuadrícula. Además, todos los puntos equivalentes en el grupo de rotación e inversión comparten los mismos pesos. El más pequeño tal conjunto de puntos se construye a partir de los seis permutaciones de (± 1, 0, 0) (denotados colectivamente como un 1 ), dando lugar a un esquema de integración
Elemento típico | Restricción | Número de puntos | |
---|---|---|---|
6 | |||
12 | |||
8 | |||
24 | |||
24 | |||
48 |
donde el peso de la rejilla es A 1 . Geométricamente, estos puntos corresponden a los vértices de un octaedro regular cuando se alinean con los ejes cartesianos. Dos conjuntos más de puntos, correspondientes a los centros y vértices del octaedro, son las ocho permutaciones no correlacionadas de(denotado como un 2 ), y las doce permutaciones de(denotado como un 3 ). Esta selección de puntos de la cuadrícula da lugar al esquema
donde A 1 , A 2 y A 3 son las funciones de peso que aún deben determinarse. Se pueden emplear otros tres tipos de puntos, como se muestra en la tabla. Cada uno de estos tipos de clases puede aportar más de un conjunto de puntos a la cuadrícula. En completa generalidad, el esquema de Lebedev es
donde el número total de puntos, N , es
La determinación de los pesos de la cuadrícula se logra imponiendo el esquema para integrar exactamente todos los polinomios hasta un orden dado. En la esfera unitaria, esto equivale a integrar todos los armónicos esféricos hasta el mismo orden. Este problema se simplifica mediante un teorema de Sergei Lvovich Sobolev que implica que esta condición debe imponerse solo en aquellos polinomios que son invariantes bajo el grupo de rotación octaédrico con inversión. [5] Hacer cumplir estas condiciones conduce a un conjunto de ecuaciones no lineales que se han resuelto y tabulado hasta el orden 131 en el polinomio. [4] [6] [7] [8] [9] [10]
Referencias
- ^ Koch, Wolfram; Max C. Holthausen (2001). Una guía química para la teoría funcional de la densidad . Weinheim: Wiley-VCH. pag. 107. ISBN 978-3-527-30372-4.
- ^ Marchuk, GI; VI Lebedev (1986). Métodos numéricos en la teoría del transporte de neutrones . Taylor y Francis. pag. 123. ISBN 978-3-7186-0182-0.
- ^ Murray, CW; NC Handy; GJ Laming (1993). "Esquemas de cuadratura para integrales de la teoría funcional de densidad". Mol. Phys . 78 (4): 997–1014. doi : 10.1080 / 00268979300100651 .
- ^ a b Lebedev, VI (1975). "Valores de los nodos y pesos de las fórmulas de cuadratura de Gauss-Markov de orden noveno a decimoséptimo invariantes bajo el grupo octaedro con inversión". Z h. Vȳchisl. Estera. Estera. Fiz . 15 (1): 48–54. doi : 10.1016 / 0041-5553 (75) 90133-0 .
- ^ Sobolev, SL (1962). "Fórmulas de cubicación mecánica en la superficie de una esfera". Sibirskii matem. Zh . 3 (5): 769–796.
- ^ Lebedev, VI (1976). "Cuadraturas sobre una esfera". Z h. Vȳchisl. Estera. Estera. Fiz . 16 (2): 293-306. doi : 10.1016 / 0041-5553 (76) 90100-2 .
- ^ Lebedev, VI (1977). "Fórmulas de cuadratura esférica exactas a los órdenes 25-29". Matemáticas siberianas. J . 18 (1): 99–107. doi : 10.1007 / BF00966954 .
- ^ Lebedev, VI; AL Skorokhodov (1992). "Fórmulas de cuadratura de órdenes 41, 47 y 53 para la esfera". Acad ruso. Sci. Dokl. Matemáticas . 45 : 587–592.
- ^ Lebedev, VI (1995). "Una fórmula de cuadratura para la esfera de 59º orden algebraico de precisión". Acad ruso. Sci. Dokl. Matemáticas . 50 : 283-286.
- ^ Lebedev, VI; DN Laikov (1999). "Una fórmula de cuadratura para la esfera del 131º orden algebraico de precisión". Matemáticas Doklady . 59 (3): 477–481.
enlaces externos
- Código de Fortran para evaluar los puntos y pesos de la cuadrícula de Lebedev
- Códigos Python: quadpy y CasperBeentjes
- [1] Puntos de cuadrícula descargables