Dimensión de cobertura de Lebesgue
En matemáticas , la dimensión de cobertura de Lebesgue o la dimensión topológica de un espacio topológico es una de varias formas diferentes de definir la dimensión del espacio de una manera topológicamente invariable . [1] [2]
Para espacios euclidianos ordinarios , la dimensión de cobertura de Lebesgue es simplemente la dimensión euclidiana ordinaria: cero para puntos, uno para líneas, dos para planos, etc. Sin embargo, no todos los espacios topológicos tienen este tipo de dimensión "obvia" , por lo que se necesita una definición precisa en tales casos. La definición procede examinando lo que sucede cuando el espacio está cubierto por conjuntos abiertos .
En general, un espacio topológico X puede estar cubierto por conjuntos abiertos , en el sentido de que uno puede encontrar una colección de conjuntos abiertos tal que X se encuentre dentro de su unión . La dimensión de cobertura es el número más pequeño n tal que para cada cobertura hay un refinamiento en el que cada punto en X se encuentra en la intersección de no más de n + 1 conjuntos de cobertura. Esta es la esencia de la definición formal a continuación. El objetivo de la definición es proporcionar un número (un número entero ) que describa el espacio y no cambie a medida que el espacio se deforma continuamente; es decir, un número que es invariante bajohomeomorfismos .
La idea general se ilustra en los diagramas a continuación, que muestran una cubierta y refinamientos de un círculo y un cuadrado.
La primera definición formal de dimensión de cubierta fue dada por Eduard Čech , basada en un resultado anterior de Henri Lebesgue . [4]
Una definición moderna es la siguiente. Una tapa abierta de un espacio topológico X es una familia de conjuntos abiertos U α tales que su unión es todo el espacio, ∪ U α = X . El orden o capa de una tapa abierta = { U α } es el número m más pequeño (si existe) para el cual cada punto del espacio pertenece como máximo a m conjuntos abiertos en la tapa: en otras palabras U α 1 ∩ ⋅⋅ ⋅ ∩ U α metro +1 = para α 1, ..., α m +1 distintos. Un refinamiento de una tapa abierta = { U α } es otra tapa abierta = { V β }, tal que cada V β está contenido en algún U α . La dimensión de cobertura de un espacio topológico X se define como el valor mínimo de n , tal que cada cobertura abierta de X tiene un refinamiento abierto de orden n + 1. Por lo tanto, si n es finita, V Β 1 ∩ ⋅⋅⋅ ∩ Vβ n +2 =para β 1 , ..., β n +2 distintos. Si no existe tal n mínimo, se dice que el espacio tiene una dimensión de cobertura infinita.
