En estadística , el teorema de Lehmann-Scheffé es un enunciado prominente que une las ideas de completitud, suficiencia, unicidad y mejor estimación insesgada. [1] El teorema establece que cualquier estimador que sea insesgado para una cantidad desconocida dada y que dependa de los datos solo a través de una estadística completa y suficiente es el mejor estimador insesgado único de esa cantidad. El teorema de Lehmann-Scheffé lleva el nombre de Erich Leo Lehmann y Henry Scheffé , dados sus dos primeros artículos. [2] [3]
Si T es un estadístico suficiente completo para θ y E ( g ( T )) = τ ( θ ), entonces g ( T ) es el estimador insesgado de varianza mínima uniforme (UMVUE) de τ ( θ ).
Declaración
Dejar ser una muestra aleatoria de una distribución que tiene pdf (o pmf en el caso discreto) dónde es un parámetro en el espacio de parámetros. Suponeres una estadística suficiente para θ , y seasea una familia completa. Si luego es el MVUE único de θ .
Prueba
Según el teorema de Rao-Blackwell , sies un estimador insesgado de θ entoncesdefine un estimador insesgado de θ con la propiedad de que su varianza no es mayor que la de.
Ahora mostramos que esta función es única. Suponeres otro estimador MVUE candidato de θ . Luego otra vezdefine un estimador insesgado de θ con la propiedad de que su varianza no es mayor que la de. Luego
Desde es una familia completa
y por lo tanto la función es la función única de Y con una varianza no mayor que la de cualquier otro estimador insesgado. Concluimos que es el MVUE.
Ejemplo para cuando se usa una estadística mínima suficiente incompleta
Un ejemplo de una mejora mejorable de Rao-Blackwell, cuando se usa una estadística mínima suficiente que no está completa , fue proporcionado por Galili y Meilijson en 2016. [4] Let ser una muestra aleatoria de una distribución de escala uniforme con media desconocida y parámetro de diseño conocido . En la búsqueda de los "mejores" estimadores insesgados posibles para, es natural considerar como un estimador insesgado inicial (crudo) para y luego intenta mejorarlo. Desde no es una función de , la estadística mínima suficiente para (dónde y ), se puede mejorar utilizando el teorema de Rao-Blackwell de la siguiente manera:
Sin embargo, se puede demostrar que el siguiente estimador insesgado tiene una varianza más baja:
Y, de hecho, podría mejorarse aún más si se utiliza el siguiente estimador:
Ver también
Referencias
- ^ Casella, George (2001). Inferencia estadística . Prensa de Duxbury. pag. 369. ISBN 978-0-534-24312-8.
- ^ Lehmann, EL ; Scheffé, H. (1950). "Completitud, regiones similares y estimación insesgada. I." Sankhyā . 10 (4): 305–340. doi : 10.1007 / 978-1-4614-1412-4_23 . JSTOR 25048038 . Señor 0039201 .
- ^ Lehmann, EL ; Scheffé, H. (1955). "Completitud, regiones similares y estimación imparcial. II" . Sankhyā . 15 (3): 219-236. doi : 10.1007 / 978-1-4614-1412-4_24 . JSTOR 25048243 . Señor 0072410 .
- ^ Tal Galili & Isaac Meilijson (31 de marzo de 2016). "Un ejemplo de una mejora mejorable de Rao-Blackwell, estimador de máxima verosimilitud ineficiente y estimador de Bayes generalizado imparcial" . El estadístico estadounidense . 70 (1): 108-113. doi : 10.1080 / 00031305.2015.1100683 . PMC 4960505 . PMID 27499547 .Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )