Notación de Leibniz

dy

dx

d ² y

dx ²

La primera y segunda derivadas de y con respecto ax , en la notación de Leibniz.

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), filósofo, matemático alemán y homónimo de esta notación matemática ampliamente utilizada en cálculo.

En el cálculo , la notación de Leibniz , llamado así en honor del alemán del siglo 17 filósofo y matemático Gottfried Leibniz , utiliza los símbolos dx y dy para representar infinitamente pequeñas (o infinitesimales ) incrementos de x e y , respectivamente, al igual que Δ x , y Δ y representan incrementos finitos de x y y , respectivamente. ^[1]

Considere y como una función de una variable x , o y = f ( x ) . Si este es el caso, entonces la derivada de y con respecto ax , que luego llegó a verse como el límite

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},}$

era, según Leibniz, el cociente de un incremento infinitesimal de y por un incremento infinitesimal de x , o

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x),}$

donde el lado derecho es la notación de Joseph-Louis Lagrange para la derivada de f en x . Los incrementos infinitesimales se denominan diferenciales . Relacionada con esto está la integral en la que se suman los incrementos infinitesimales (por ejemplo, para calcular longitudes, áreas y volúmenes como sumas de piezas diminutas), para la cual Leibniz también proporcionó una notación estrechamente relacionada que involucra los mismos diferenciales, una notación cuya eficiencia resultó decisiva en el desarrollo de las matemáticas de la Europa continental.

El concepto de infinitesimales de Leibniz, considerado durante mucho tiempo demasiado impreciso para ser utilizado como base del cálculo, fue finalmente reemplazado por conceptos rigurosos desarrollados por Weierstrass y otros en el siglo XIX. En consecuencia, la notación del cociente de Leibniz fue reinterpretada para representar el límite de la definición moderna. Sin embargo, en muchos casos, el símbolo pareció actuar como lo haría un cociente real y su utilidad lo mantuvo popular incluso frente a varias notaciones en competencia. En el siglo XX se desarrollaron varios formalismos diferentes que pueden dar un significado riguroso a las nociones de infinitesimales y desplazamientos infinitesimales, incluido el análisis no estándar , el espacio tangente , la notación O y otros.

Las derivadas e integrales del cálculo se pueden empaquetar en la teoría moderna de formas diferenciales , en la que la derivada es genuinamente una razón de dos diferenciales, y la integral también se comporta exactamente de acuerdo con la notación de Leibniz. Sin embargo, esto requiere que la derivada y la integral se definan primero por otros medios, y como tal expresa la autoconsistencia y la eficacia computacional de la notación de Leibniz en lugar de darle una nueva base.

Historia

El enfoque de Newton-Leibniz para el cálculo infinitesimal se introdujo en el siglo XVII. Mientras Newton trabajaba con fluxiones y fluidez, Leibniz basó su enfoque en generalizaciones de sumas y diferencias. ^[2] Leibniz fue el primero en utilizar el personaje. Basó el carácter en la palabra latina summa ("sum"), que escribió ſumma con las alargadas que se usaban comúnmente en Alemania en ese momento. Viendo las diferencias como la operación inversa de la suma, ^[3] usó el símbolo d , la primera letra de la diferencia latina , para indicar esta operación inversa. ^[2]${\displaystyle \textstyle \int }$Leibniz era fastidioso con la notación; pasar años experimentando, ajustando, rechazando y manteniendo correspondencia con otros matemáticos sobre ellos. ^{[4] Las} notaciones que usó para el diferencial de y variaron sucesivamente entre ω , l yy/Dhasta que finalmente se decidió por dy . ^[5] Su signo integral apareció por primera vez públicamente en el artículo "De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum" (Sobre una geometría oculta y análisis de indivisibles e infinitos), publicado en Acta Eruditorum en junio de 1686, ^{[6] [7]} pero que había estado usando en los manuscritos privados por lo menos desde 1675. ^{[8] [9] [10]} Leibniz utilizó por primera vez dx en el artículo " Nova Methodus pro Maximis et minimis " también publicado en Acta Eruditorum en 1684. ^[11] Mientras que la símbolodx/dyaparece en manuscritos privados de 1675, ^{[12] [13]} no aparece de esta forma en ninguna de las obras publicadas antes mencionadas. Sin embargo, Leibniz usó formas como dy ad dx y dy  : dx impresas. ^[11]

Los matemáticos ingleses se vieron obstaculizados por la notación de puntos de Newton hasta 1803 cuando Robert Woodhouse publicó una descripción de la notación continental. Más tarde, la Sociedad Analítica de la Universidad de Cambridge promovió la adopción de la notación de Leibniz.

A finales del siglo XIX, los seguidores de Weierstrass dejaron de tomar literalmente la notación de Leibniz para derivadas e integrales. Es decir, los matemáticos sintieron que el concepto de infinitesimales contenía contradicciones lógicas en su desarrollo. Varios matemáticos del siglo XIX (Weierstrass y otros) encontraron formas lógicamente rigurosas de tratar derivadas e integrales sin infinitesimales usando límites como se muestra arriba, mientras que Cauchy explotó tanto los infinitesimales como los límites (ver Cours d'Analyse ). No obstante, la notación de Leibniz todavía es de uso general. Aunque la notación no necesita tomarse literalmente, generalmente es más simple que las alternativas cuando la técnica de separación de variablesse utiliza en la solución de ecuaciones diferenciales. En aplicaciones físicas, uno puede considerar, por ejemplo, f ( x ) como medido en metros por segundo, y d x en segundos, de modo que f ( x ) d x está en metros, y también lo es el valor de su integral definida. De esa manera, la notación de Leibniz está en armonía con el análisis dimensional .

Notación de Leibniz para diferenciación

Artículo principal: Notación para diferenciación

Suponga que una variable dependiente y representa una función f de una variable independiente x , es decir,

${\displaystyle y=f(x).}$

Entonces, la derivada de la función f , en la notación de Leibniz para diferenciación , se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}y\,{\text{ or }}{\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}.}$

La expresión de Leibniz, también, en ocasiones, escrita dy / dx , es una de varias notaciones utilizadas para derivadas y funciones derivadas. Una alternativa común es la notación de Lagrange

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x).}$

Otra alternativa es la notación de Newton , a menudo utilizada para derivadas con respecto al tiempo (como la velocidad ), que requiere colocar un punto sobre la variable dependiente (en este caso, x ):

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}.}$

La notación " prima " de Lagrange es especialmente útil en las discusiones de funciones derivadas y tiene la ventaja de tener una forma natural de denotar el valor de la función derivada en un valor específico. Sin embargo, la notación de Leibniz tiene otras virtudes que la han mantenido popular a lo largo de los años.

En su interpretación moderna, la expresión dy/dxno debe leerse como la división de dos cantidades dx y dy (como lo había imaginado Leibniz); más bien, toda la expresión debe verse como un solo símbolo que es la abreviatura de

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

(nótese Δ frente a d , donde Δ indica una diferencia finita).

La expresión también se puede considerar como la aplicación del operador diferencial D/dx(de nuevo, un solo símbolo) ay , considerado como una función de x . Este operador se escribe D en notación de Euler . Leibniz no usó esta forma, pero su uso del símbolo d corresponde bastante de cerca a este concepto moderno.

Si bien no hay división implícita en la notación, la notación similar a una división es útil ya que en muchas situaciones, el operador de derivada se comporta como una división, lo que hace que algunos resultados sobre derivadas sean fáciles de obtener y recordar. ^[14] Esta notación debe su longevidad al hecho de que parece llegar al corazón mismo de las aplicaciones geométricas y mecánicas del cálculo. ^[15]

Notación de Leibniz para derivadas superiores

Si y = f ( x ) , la n- ésima derivada de f en la notación de Leibniz viene dada por, ^[16]

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.}$

Esta notación, para la segunda derivada , se obtiene usandoD/dxcomo operador de la siguiente manera, ^[16]

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$

Una tercera derivada, que podría escribirse como,

${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,}$

se puede obtener de

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right).}$

De manera similar, las derivadas superiores se pueden obtener de forma inductiva.

Si bien es posible, con definiciones cuidadosamente elegidas, interpretar dy/dxcomo cociente de diferenciales , esto no debe hacerse con las formas de orden superior. ^[17]

Sin embargo, Leibniz no utilizó esta notación. En la impresión no utilizó notación de varios niveles ni exponentes numéricos (antes de 1695). Para escribir x ^3, por ejemplo, escribiría xxx , como era común en su época. El cuadrado de un diferencial, como podría aparecer en una fórmula de longitud de arco , por ejemplo, se escribió como dxdx . Sin embargo, Leibniz usó su notación d como hoy usaríamos operadores, es decir, escribiría una segunda derivada como ddy y una tercera derivada como dddy . En 1695 Leibniz comenzó a escribir d ² ⋅ x y d ³ ⋅ x paraddx y dddx respectivamente, pero l'Hôpital , en su libro de texto sobre el cálculo escrito en la misma época, que se utiliza formas originales de Leibniz. ^[18]

Usar en varias fórmulas

Una de las razones por las que las notaciones de Leibniz en cálculo han perdurado durante tanto tiempo es que permiten recordar fácilmente las fórmulas adecuadas utilizadas para la diferenciación y la integración. Por ejemplo, la regla de la cadena —suponga que la función g es diferenciable en x y y = f ( u ) es diferenciable en u = g ( x ) . Entonces la función compuesta y = f ( g ( x )) es diferenciable en x y su derivada se puede expresar en notación de Leibniz como, ^[19]

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

Esto se puede generalizar para tratar con los compuestos de varias funciones relacionadas y definidas apropiadamente, u ₁ , u ₂ , ..., u _n y se expresaría como,

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}.}$

Además, la fórmula de integración por sustitución puede expresarse mediante ^[20]

${\displaystyle \int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,}$

donde se piensa que x es una función de una nueva variable u y la función y de la izquierda se expresa en términos de x mientras que a la derecha se expresa en términos de u .

Si y = f ( x ) donde f es una función diferenciable que es invertible , la derivada de la función inversa, cuando existe, puede estar dada por, ^[21]

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)}},}$

donde se agregan los paréntesis para enfatizar el hecho de que la derivada no es una fracción.

Sin embargo, al resolver ecuaciones diferenciales, es fácil pensar en dy sy dx s como separables. Uno de los tipos más simples de ecuaciones diferenciales es ^[22]

${\displaystyle M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,}$

donde M y N son funciones continuas. Se puede resolver (implícitamente) tal ecuación examinando la ecuación en su forma diferencial ,

${\displaystyle M(x)dx+N(y)dy=0}$

e integrando para obtener

${\displaystyle \int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.}$

Reescribir, cuando sea posible, una ecuación diferencial en esta forma y aplicar el argumento anterior se conoce como la técnica de separación de variables para resolver tales ecuaciones.

En cada uno de estos casos, la notación de Leibniz para una derivada parece actuar como una fracción, aunque, en su interpretación moderna, no es una.

Justificación moderna de infinitesimales

En la década de 1960, basándose en trabajos anteriores de Edwin Hewitt y Jerzy Łoś , Abraham Robinson desarrolló explicaciones matemáticas para los infinitesimales de Leibniz que eran aceptables según los estándares contemporáneos de rigor, y desarrolló un análisis no estándar basado en estas ideas. Los métodos de Robinson son utilizados solo por una minoría de matemáticos. Jerome Keisler escribió un libro de texto de cálculo de primer año, Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal , basado en el enfoque de Robinson.

Desde el punto de vista de la teoría infinitesimal moderna, Δ x es un incremento x infinitesimal, Δ y es el incremento y correspondiente , y la derivada es la parte estándar de la razón infinitesimal:

${\displaystyle f'(x)={\rm {st}}{\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigg )}}$.

Entonces se establece , de modo que, por definición, es la razón de dy por dx .${\displaystyle dx=\Delta x}$${\displaystyle dy=f'(x)dx}$${\displaystyle f'(x)}$

De manera similar, aunque la mayoría de los matemáticos ahora ven una

${\displaystyle \int f(x)\,dx}$

como un limite

${\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,}$

donde Δ x es un intervalo que contiene x _i , Leibniz lo vio como la suma (el signo integral denota suma para él) de infinitas cantidades infinitesimales f ( x )  dx . Desde el punto de vista del análisis no estándar, es correcto ver la integral como la parte estándar de tal suma infinita.

La compensación necesaria para obtener la precisión de estos conceptos es que el conjunto de números reales debe extenderse al conjunto de números hiperreales .

Otras notaciones de Leibniz

Leibniz experimentó con muchas notaciones diferentes en diversas áreas de las matemáticas. Sintió que la buena notación era fundamental en la búsqueda de las matemáticas. En una carta a l'Hôpital en 1693 dice: ^[23]

Uno de los secretos del análisis consiste en la característica, es decir, en el arte del hábil empleo de los signos disponibles, y usted observará, señor, por el pequeño recinto [sobre determinantes] que Vieta y Descartes no han conocido todos los misterios .

Refinó sus criterios de buena notación a lo largo del tiempo y llegó a darse cuenta del valor de "adoptar simbolismos que se pudieran establecer en una línea como el tipo ordinario, sin la necesidad de ampliar los espacios entre líneas para dejar espacio para símbolos con partes extendidas". ^[24] Por ejemplo, en sus primeros trabajos usó mucho un vinculum para indicar la agrupación de símbolos, pero luego introdujo la idea de usar pares de paréntesis para este propósito, apaciguando así a los tipógrafos que ya no tenían que ensanchar los espacios entre líneas. en una página y hacer que las páginas se vean más atractivas. ^[25]

Muchos de los más de 200 nuevos símbolos introducidos por Leibniz todavía se utilizan en la actualidad. ^[26] Además de los diferenciales dx , dy y el signo integral (∫) ya mencionado, también introdujo los dos puntos (:) para la división, el punto (⋅) para la multiplicación, los signos geométricos para similar (~) y congruencia (≅ ), el uso del signo igual de Recorde (=) para proporciones (reemplazando la notación :: de Oughtred ) y la notación de doble sufijo para determinantes. ^[23]

Ver también

• Notación de Newton
• Controversia del cálculo de Leibniz-Newton

Notas

1. Stewart, James (2008). Cálculo: principios trascendentales (6ª ed.). Brooks / Cole . ISBN 978-0-495-01166-8.
2. Katz , 1993 , p. 524
3. Katz 1993 , p. 529
4. Mazur , 2014 , p. 166
5. Cajori 1993 , vol. II, pág. 203, nota al pie 4
6. Swetz, Frank J., Tesoro matemático: Documentos de Leibniz sobre cálculo - Cálculo integral , Convergencia, Asociación matemática de América , consultado el 11 de febrero de 2017
7. Stillwell, John (1989). Matemáticas y su Historia . Saltador. pag. 110 .
8. Leibniz, GW (2005) [1920]. Los primeros manuscritos matemáticos de Leibniz . Traducido por Child, JM Dover. págs. 73–74, 80. ISBN 978-0-486-44596-0.
9. Leibniz, GW, Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: Mathematische Schriften, vol. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676 , Berlín: Akademie Verlag, 2008, págs. 288-295 ("Analyseos tetragonisticae pars secunda", 29 de octubre de 1675) y 321-331 ("Methodi tangentium inversae exempla", 11 de noviembre de 1675).
10. Aldrich, John. "Los primeros usos de los símbolos del cálculo" . Consultado el 20 de abril de 2017 .
11. Cajori , 1993 , vol. II, pág. 204
12. Leibniz, GW, Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: Mathematische Schriften, vol. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676 , Berlín: Akademie Verlag, 2008, págs. 321–331 esp. 328 ("Methodi tangentium inversae exempla", 11 de noviembre de 1675).
13. Cajori 1993 , vol. II, pág. 186
14. Jordan, DW; Smith, P. (2002). Técnicas matemáticas: una introducción a las ciencias de la ingeniería, físicas y matemáticas . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 58.
15. Cajori 1993 , vol. II, pág. 262
16. Briggs y Cochran , 2010 , p. 141
17. Swokowski 1983 , p. 135
18. Cajori 1993 , págs.204-205
19. Briggs y Cochran 2010 , p. 176
20. Swokowski 1983 , p. 257
21. Swokowski 1983 , p. 369
22. Swokowski 1983 , p. 895
23. Cajori , 1993 , vol. II, pág. 185
24. Cajori 1993 , vol. II, pág. 184
25. Mazur 2014 , págs. 167-168
26. Mazur , 2014 , p. 167

Referencias

• Briggs, William; Cochran, Lyle (2010), Cálculo / Trascendentales tempranos / Variable única , Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3
• Cajori, Florian (1993) [1928], A History of Mathematical Notations , Nueva York: Dover, ISBN 0-486-67766-4
• Katz, Victor J. (1993), A History of Mathematics / An Introduction (2da ed.), Addison Wesley Longman, ISBN 978-0-321-01618-8
• Mazur, Joseph (2014), Símbolos esclarecedores / Una breve historia de la notación matemática y sus poderes ocultos , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-17337-5
• Swokowski, Earl W. (1983), Cálculo con geometría analítica (ed. Alternativa), Prindle, Weber y Schmidt, ISBN 0-87150-341-7