Métrica intrínseca

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En el estudio matemático de los espacios métricos , se puede considerar la longitud de arco de los caminos en el espacio. Si dos puntos están a una distancia dada entre sí, es natural esperar que uno pueda ir del primer punto al segundo a lo largo de un camino cuya longitud de arco sea igual (o muy cercana) a esa distancia. La distancia entre dos puntos de un espacio métrico relativa a la métrica intrínseca se define como el mínimo de las longitudes de todos los caminos desde el primer punto hasta el segundo. Un espacio métrico es un espacio métrico de longitud si la métrica intrínseca concuerda con la métrica original del espacio.

Si el espacio tiene la propiedad más fuerte de que siempre existe un camino que alcanza el mínimo de longitud (una geodésica ), entonces puede llamarse espacio métrico geodésico o espacio geodésico . Por ejemplo, el plano euclidiano es un espacio geodésico, con segmentos de línea como sus geodésicas. El plano euclidiano con el origen eliminado no es geodésico, pero sigue siendo un espacio métrico de longitud.

Sea un espacio métrico , es decir, es un conjunto de puntos (como todos los puntos del plano, o todos los puntos de la circunferencia) y es una función que nos proporciona la distancia entre puntos . Definimos una nueva métrica en , conocida como la métrica intrínseca inducida , de la siguiente manera: es el mínimo de las longitudes de todos los caminos desde hasta .${\ estilo de visualización (M, d)}$${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización d (x, y)}$${\ estilo de visualización x, y \ en M}$${\displaystyle d_{\text{I}}}$${\ estilo de visualización M}$${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Aquí, un camino de a es un mapa continuo${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

con y . La longitud de dicho camino se define como se explica para las curvas rectificables . Establecemos si no hay un camino de longitud finita desde hasta . Si${\displaystyle \gamma (0)=x}$${\displaystyle \gamma (1)=y}$${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

para todos los puntos y en , decimos que es un espacio de longitud o un espacio métrico de camino y la métrica es intrínseca .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle d}$

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