Distribución de Lévy

Para la familia más general de distribuciones alfa-estables de Lévy, de las cuales esta distribución es un caso especial, consulte distribución estable .

Lévy (sin turno)

Función de densidad de probabilidad
Función de distribución acumulativa
Parámetros	${\displaystyle \mu }$localización; escala${\displaystyle c>0\,}$
Apoyo	${\displaystyle x\in [\mu ,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}}$
CDF	${\displaystyle {\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)}$
Significar	${\displaystyle \infty }$
Mediana	${\displaystyle \mu +c/2({\textrm {erfc}}^{-1}(1/2))^{2}\,}$
Modo	${\displaystyle \mu +{\frac {c}{3}}}$
Diferencia	${\displaystyle \infty }$
Oblicuidad	indefinido
Ex. curtosis	indefinido
Entropía	${\displaystyle {\frac {1+3\gamma +\ln(16\pi c^{2})}{2}}}$ donde es la constante de Euler-Mascheroni${\displaystyle \gamma }$
MGF	indefinido
CF	${\displaystyle e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}}$

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución de Lévy , llamada así por Paul Lévy , es una distribución de probabilidad continua para una variable aleatoria no negativa . En espectroscopia , esta distribución, con la frecuencia como variable dependiente, se conoce como perfil de van der Waals . ^{[nota 1]} Es un caso especial de distribución gamma inversa . Es una distribución estable .

Definición

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Lévy sobre el dominio es${\displaystyle x\geq \mu }$

${\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}}$

donde es el parámetro de ubicación y es el parámetro de escala . La función de distribución acumulativa es${\displaystyle \mu }$${\displaystyle c}$

${\displaystyle F(x;\mu ,c)={\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)=2-2\Phi \left({\sqrt {\frac {c}{(x-\mu )}}}\right)}$

donde es la función de error complementario y es la función de Laplace (CDF de la distribución normal estándar). El parámetro de desplazamiento tiene el efecto de desplazar la curva hacia la derecha en una cantidad y cambiar el soporte al intervalo [ , ). Como todas las distribuciones estables , la distribución Levy tiene una forma estándar f (x; 0,1) que tiene la siguiente propiedad:${\displaystyle {\textrm {erfc}}(z)}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle f(x;\mu ,c)dx=f(y;0,1)dy\,}$

donde y se define como

${\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}\,}$

La función característica de la distribución de Lévy viene dada por

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.}$

Tenga en cuenta que la función característica también se puede escribir en la misma forma utilizada para la distribución estable con y :${\displaystyle \alpha =1/2}$${\displaystyle \beta =1}$

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}~(1-i~{\textrm {sign}}(t))}.}$

Suponiendo que el n- ésimo momento de la distribución de Lévy no desplazada se define formalmente por:${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle m_{n}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}\,x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx}$

que diverge para todos de modo que los momentos enteros de la distribución de Lévy no existen (solo algunos momentos fraccionarios).${\displaystyle n\geq 0.5}$

La función generadora de momentos estaría definida formalmente por:

${\displaystyle M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx}$

sin embargo, esto diverge y, por lo tanto, no se define en un intervalo alrededor de cero, por lo que la función generadora de momentos no está definida per se .${\displaystyle t>0}$

Como todas las distribuciones estables excepto la distribución normal , el ala de la función de densidad de probabilidad exhibe un comportamiento de cola pesado que cae de acuerdo con una ley de potencia:

${\displaystyle f(x;\mu ,c)\sim {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}{\frac {1}{x^{3/2}}}}$   como   ${\displaystyle x\to \infty ,}$

lo que demuestra que Lévy no solo tiene una cola gruesa, sino también una cola gruesa . Esto se ilustra en el siguiente diagrama, en el que las funciones de densidad de probabilidad para varios valores de c y se trazan en un gráfico log-log .${\displaystyle \mu =0}$

Función de densidad de probabilidad para la distribución de Lévy en una gráfica logarítmica

La distribución estándar de Lévy cumple la condición de ser estable

${\displaystyle (X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})\sim n^{1/\alpha }X}$,

donde son variables de Lévy estándar independientes con .${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},X}$${\displaystyle \alpha =1/2}$

Distribuciones relacionadas

• Si entonces${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(\mu ,c)}$${\displaystyle kX+b\,\sim \,{\textrm {Levy}}(k\mu +b,kc)}$
• Si entonces ( distribución gamma inversa ) Aquí, la distribución de Lévy es un caso especial de una distribución de Pearson tipo V${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,c)}$${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}$
  
• Si ( distribución normal ) entonces${\displaystyle \,Y\,\sim \,{\textrm {Normal}}(\mu ,\sigma )}$${\displaystyle {(Y-\mu )}^{-2}\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,1/\sigma ^{2})}$
• Si entonces${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Normal}}(\mu ,{\tfrac {1}{\sqrt {\sigma }}})}$${\displaystyle {(X-\mu )}^{-2}\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,\sigma )}$
• Si entonces ( distribución estable )${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(\mu ,c)}$${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Stable}}(1/2,1,c,\mu )}$
• Si entonces ( distribución chi cuadrado inversa escalada )${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,c)}$${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Scale-inv-}}\chi ^{2}(1,c)}$
• Si entonces ( distribución normal plegada )${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(\mu ,c)}$${\displaystyle {(X-\mu )}^{-{\tfrac {1}{2}}}\sim \,{\textrm {FoldedNormal}}(0,1/{\sqrt {c}})}$

Generación de muestra aleatoria

Se pueden generar muestras aleatorias de la distribución de Lévy mediante el muestreo por transformada inversa . Dada una variable aleatoria U extraída de la distribución uniforme en el intervalo unitario (0, 1], la variable X dada por ^[1]

${\displaystyle X=F^{-1}(U)={\frac {c}{(\Phi ^{-1}(1-U))^{2}}}+\mu }$

está Lévy-distribuido con ubicación y escala . Aquí está la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \Phi (x)}$

Aplicaciones

• La frecuencia de las inversiones geomagnéticas parece seguir una distribución de Lévy
• El tiempo de golpear un solo punto, a distancia del punto de partida, por el movimiento browniano tiene la distribución de Lévy con . (Para un movimiento browniano con deriva, esta vez puede seguir una distribución gaussiana inversa , que tiene la distribución de Lévy como límite).${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle c=\alpha ^{2}}$
• La longitud del camino seguido por un fotón en un medio turbio sigue la distribución de Lévy. ^[2]
• Un proceso de Cauchy se puede definir como un movimiento browniano subordinado a un proceso asociado con una distribución de Lévy. ^[3]

Notas al pie

1. "Van der Waals profile" aparece con "van" minúsculas en casi todas las fuentes, como: Mecánica estadística de la superficie líquida por Clive Anthony Croxton, 1980, Una publicación de Wiley-Interscience, ISBN  0-471-27663-4 , ISBN 978-0-471-27663-0 , [1] ; y en Journal of Technical Physics, Volumen 36, por Instytut Podstawowych Problemów Techniki (Polska Akademia Nauk), editor: Państwowe Wydawn. Naukowe., 1995, [2] 

Notas

1. Cómo derivar la función para una muestra aleatoria de una distribución de Lévy: http://www.math.uah.edu/stat/special/Levy.html
2. Rogers, Geoffrey L. (2008). "Análisis de trayectoria múltiple de reflectancia de medios turbios". Revista de la Sociedad Americana de Óptica A . 25 (11): 2879–2883. Código Bib : 2008JOSAA..25.2879R . doi : 10.1364 / josaa.25.002879 . PMID 18978870 . 
3. Applebaum, D. "Conferencias sobre procesos de Lévy y cálculo estocástico, Braunschweig; Conferencia 2: procesos de Lévy" (PDF) . Universidad de Sheffield. págs. 37–53.

Referencias

• "Información sobre distribuciones estables" . Consultado el 5 de septiembre de 2021 .- Introducción de John P. Nolan a distribuciones estables, algunos artículos sobre leyes estables y un programa gratuito para calcular densidades estables, funciones de distribución acumulativas, cuantiles, estimar parámetros, etc. Ver especialmente Introducción a distribuciones estables, Capítulo 1

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Distribución de Lévy" . MathWorld .