En teoría de probabilidad y estadística , la distribución gamma inversa es una familia de dos parámetros de distribuciones de probabilidad continuas en la línea real positiva , que es la distribución del recíproco de una variable distribuida de acuerdo con la distribución gamma . Quizás el uso principal de la distribución gamma inversa sea en las estadísticas bayesianas , donde la distribución surge como la distribución posterior marginal para la varianza desconocida de una distribución normal , si se usa un a priori no informativo , y como un método analíticamente tratable.previo conjugado , si se requiere un previo informativo.
Función de densidad de probabilidad | |||
Función de distribución acumulativa | |||
Parámetros | forma ( real ) escala ( real ) | ||
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Apoyo | |||
CDF | |||
Significar | por | ||
Modo | |||
Diferencia | por | ||
Oblicuidad | por | ||
Ex. curtosis | por | ||
Entropía |
(ver función digamma ) | ||
MGF | No existe. | ||
CF |
Sin embargo, es común entre los bayesianos considerar una parametrización alternativa de la distribución normal en términos de precisión , definida como el recíproco de la varianza, lo que permite que la distribución gamma se utilice directamente como un conjugado previo. Otros bayesianos prefieren parametrizar la distribución gamma inversa de manera diferente, como una distribución chi-cuadrado inversa escalada .
Caracterización
Función de densidad de probabilidad
La función de densidad de probabilidad de la distribución gamma inversa se define sobre el soporte
con parámetro de forma y parámetro de escala . [1] Aquídenota la función gamma .
A diferencia de la distribución Gamma , que contiene un término exponencial algo similar, es un parámetro de escala ya que la función de distribución satisface:
Función de distribución acumulativa
La función de distribución acumulativa es la función gamma regularizada
donde el numerador es la función gamma incompleta superior y el denominador es la función gamma . Muchos paquetes matemáticos permiten el cálculo directo de, la función gamma regularizada.
Momentos
El n -ésimo momento de la distribución gamma inversa viene dado por [2]
Función característica
en la expresión de la función característica está la función de Bessel modificada del segundo tipo.
Propiedades
Para y ,
y
La entropía de la información es
dónde es la función digamma .
La divergencia Kullback-Leibler de Inverse-Gamma ( α p , β p ) de Inverse-Gamma ( α q , β q ) es la misma que la KL-divergencia de Gamma ( α p , β p ) de Gamma ( α q , β q ):
dónde son los PDF de las distribuciones Inverse-Gamma y son los PDF de las distribuciones Gamma, se distribuye Gamma ( α p , β p ).
Distribuciones relacionadas
- Si luego
- Si luego ( distribución inversa de chi-cuadrado )
- Si luego ( distribución chi cuadrado inversa escalada )
- Si luego ( Distribución de Lévy )
- Si luego ( Distribución exponencial )
- Si ( Distribución gamma con parámetro de tasa) luego (consulte la derivación en el siguiente párrafo para obtener más detalles)
- Tenga en cuenta que si X ~ Gamma ( k , θ ) (distribución gamma con parámetro de escala θ ) entonces 1 / X ~ Inv-Gamma ( k , θ −1 )
- La distribución gamma inversa es un caso especial de distribución de Pearson de tipo 5
- Una generalización multivariante de la distribución gamma inversa es la distribución Wishart inversa .
- Para la distribución de una suma de variables gamma invertidas independientes, ver Witkovsky (2001)
Derivación de la distribución gamma
Dejar , y recuerde que el pdf de la distribución gamma es
- , .
Tenga en cuenta que es el parámetro de velocidad desde la perspectiva de la distribución gamma.
Definir la transformación . Entonces, el pdf de es
Tenga en cuenta que es el parámetro de escala desde la perspectiva de la distribución gamma inversa.
Ocurrencia
- Distribución del tiempo de acierto de un proceso de Wiener [3]
Ver también
- Distribución gamma
- Distribución inversa de chi-cuadrado
- Distribución normal
Referencias
- ^ "InverseGammaDistribution-Wolfram Language Documentation" . reference.wolfram.com . Consultado el 9 de abril de 2018 .
- ^ John D. Cook (3 de octubre de 2008). "InverseGammaDistribution" (PDF) . Consultado el 3 de diciembre de 2018 .
- ^ Ludkovski, Mike (2007). "Matemáticas 526: notas de movimiento browniano" (PDF) . UC Santa Bárbara. págs. 5-6.
- Hoff, P. (2009). "Un primer curso de métodos estadísticos bayesianos". Saltador.
- Witkovsky, V. (2001). "Cálculo de la distribución de una combinación lineal de variables gamma invertidas". Kybernetika . 37 (1): 79–90. Señor 1825758 . Zbl 1263.62022 .