teorema de mentira

En matemáticas, específicamente la teoría de las álgebras de Lie, el teorema de Lie establece que, ^[1] sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero, si es una representación de dimensión finita de un álgebra de Lie soluble , entonces hay una bandera de subespacios invariantes de con , lo que significa que para each y i . $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0$ ${\ estilo de visualización \ pi ({\ mathfrak {g}})}$ $\operatorname {codim} V_{i}=i$ $\pi (X)(V_{i})\subseteq V_{i}$ $X\in {\mathfrak{g}}$

Dicho de otra manera, el teorema dice que existe una base para V tal que todas las transformaciones lineales en están representadas por matrices triangulares superiores. ^[2] Esta es una generalización del resultado de Frobenius de que las matrices conmutables son simultáneamente triangularizables superiores , ya que las matrices conmutativas generan un álgebra de Lie abeliana , que a fortiori es soluble. ${\ estilo de visualización \ pi ({\ mathfrak {g}})}$

Una consecuencia del teorema de Lie es que cualquier álgebra de Lie resoluble de dimensión finita sobre un campo de característica 0 tiene un álgebra derivada nilpotente (ver #Consecuencias ). Además, a cada bandera en un espacio vectorial de dimensión finita V , le corresponde una subálgebra de Borel (que consiste en transformaciones lineales que estabilizan la bandera); así, el teorema dice que está contenido en alguna subálgebra de Borel de . ^[1] ${\ estilo de visualización \ pi ({\ mathfrak {g}})}$ ${\mathfrak{gl}}(V)$

Para campos algebraicamente cerrados de característica p > 0, el teorema de Lie se cumple siempre que la dimensión de la representación sea menor que p (consulte la prueba a continuación), pero puede fallar para representaciones de dimensión p . Un ejemplo lo da el álgebra de Lie nilpotente tridimensional dividida por 1, x y d / dx que actúa sobre el espacio vectorial p -dimensional k [ x ]/( x ^p ), que no tiene vectores propios. Tomando el producto semidirecto de este álgebra de Lie tridimensional por la pLa representación bidimensional (considerada como un álgebra de Lie abeliana) da un álgebra de Lie resoluble cuya álgebra derivada no es nilpotente.