En matemáticas , un subespacio invariante de un mapeo lineal T : V → V desde algún espacio vectorial V a sí mismo, es un subespacio W de V que es preservado por T ; es decir, T ( W ) ⊆ W .
Descripción general
Considere un mapeo lineal
Un subespacio invariante de tiene la propiedad de que todos los vectores son transformados por en vectores también contenidos en . Esto se puede afirmar como
Ejemplos triviales de subespacios invariantes
- : Desde mapea cada vector en dentro
- : Dado que un mapa lineal tiene que mapear
Subespacio invariante unidimensional U
La base de un espacio unidimensional es simplemente un vector distinto de cero. En consecuencia, cualquier vector se puede representar como dónde es un escalar. Si representamospor una matriz entonces para para ser un subespacio invariante debe satisfacer
Lo sabemos con .
Por lo tanto, la condición para la existencia de un subespacio invariante unidimensional se expresa como:
- , dónde es un escalar (en el campo base del espacio vectorial ).
Tenga en cuenta que esta es la formulación típica de un problema de valores propios , lo que significa que cualquier vector propio de forma un subespacio invariante unidimensional en .
Descripción formal
Un subespacio invariante de un mapeo lineal
de algún espacio vectorial V a sí mismo es un subespacio W de V de tal manera que T ( W ) está contenido en W . Un subespacio invariante de T también se dice que es T invariante .
Si W es T- invariante, podemos restringir T a W para llegar a un nuevo mapeo lineal
Este mapeo lineal se llama restricción de T sobre W y está definido por
A continuación, damos algunos ejemplos inmediatos de subespacios invariantes.
Ciertamente V sí mismo, y el subespacio {0}, son trivialmente subespacios invariables para cada operador lineal T : V → V . Para ciertos operadores lineales no existe un subespacio invariante no trivial ; considérese, por ejemplo, una rotación de un espacio vectorial real bidimensional .
Sea v un vector propio de T , es decir, T v = λ v . Entonces W = span { v } es T- invariante. Como consecuencia del teorema fundamental del álgebra , todo operador lineal en un espacio vectorial complejo de dimensión finita distinto de cero tiene un vector propio. Por lo tanto, cada operador lineal tiene un subespacio invariante no trivial. Aquí se requiere el hecho de que los números complejos son un campo algebraicamente cerrado . Comparando con el ejemplo anterior, se puede ver que los subespacios invariables de una transformación lineal dependen del campo de base de V .
Un vector invariante (es decir, un punto fijo de T ), distinto de 0, abarca un subespacio invariante de dimensión 1. Un subespacio invariante de dimensión 1 será actuado por T por un escalar y consta de vectores invariantes si y solo si ese escalar es 1.
Como muestran los ejemplos anteriores indican, los subespacios invariables de una transformación lineal dada T arrojan luz sobre la estructura de T . Cuando V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado, transformaciones lineales que actúan sobre V se caracterizan (hasta similitud) por la forma canónica de Jordan , que se descompone V en subespacios invariables de T . Muchas de las preguntas fundamentales con respecto a T pueden ser traducidos a las preguntas sobre subespacios invariantes de T .
De manera más general, los subespacios invariantes se definen para conjuntos de operadores como subespacios invariantes para cada operador del conjunto. Sea L ( V ) el álgebra de transformaciones lineales en V , y Lat ( T ) sea la familia de subespacios invariantes bajo T ∈ L ( V ). (La notación "Lat" se refiere al hecho de que Lat ( T ) forma una celosía ; vea la discusión a continuación.) Dado un conjunto no vacío Σ ⊂ L ( V ), uno considera los subespacios invariantes invariantes bajo cada T ∈ Σ. En símbolos,
Por ejemplo, está claro que si Σ = L ( V ), Lat (Σ) = {{0}, V }.
Dada una representación de un grupo G en un espacio vectorial V , tenemos una transformación lineal T ( g ): V → V para cada elemento g de G . Si un subespacio W de V es invariante con respecto a todas estas transformaciones, entonces es una subrepresentación y el grupo G actúa sobre W de forma natural.
Como otro ejemplo, sean T ∈ L ( V ) y Σ el álgebra generada por {1, T }, donde 1 es el operador de identidad. Entonces Lat ( T ) = Lat (Σ). Debido a que T se encuentra en Σ trivialmente, Lat (Σ) ⊂ Lat ( T ). Por otro lado, Σ consta de polinomios en 1 y T y, por lo tanto, la inclusión inversa también es válida.
Representación matricial
En un espacio vectorial de dimensión finita, cada transformación lineal T : V → V se puede representar mediante una matriz una vez que se ha elegido una base de V.
Supongamos ahora que W es un subespacio invariante en T. Elige una base C = { v 1 , ..., v k } de W y completar a una base B de V . Entonces, con respecto a esta base, la representación matricial de T toma la forma:
donde el bloque superior izquierda T 11 es la restricción de T a W .
En otras palabras, dado un subespacio invariante W de T , V se puede descomponer en la suma directa
Ver a T como una matriz de operadores
está claro que T 21 : W → W ' debe ser cero.
Determinar si un subespacio dado W es invariante bajo T es aparentemente un problema de naturaleza geométrica. La representación matricial permite formular este problema de forma algebraica. El operador de proyección P en W se define por P ( w + w ' ) = w , donde w ∈ W y W' ∈ W' . La proyección P tiene representación matricial
Un cálculo sencillo muestra que W = corrió P , el rango de P , es invariante bajo T si y solo si PTP = TP . En otras palabras, un subespacio W que es un elemento de Lat ( T ) es equivalente a la proyección correspondiente que satisface la relación PTP = TP .
Si P es una proyección (es decir, P 2 = P ), entonces también lo es 1 - P , donde 1 es el operador de identidad. Se deduce de lo anterior que TP = PT si y sólo si ambos RAN P y RAN (1 - P ) son invariantes bajo T . En ese caso, T tiene representación matricial
Coloquialmente, una proyección que conmuta con T "diagonaliza" T .
Problema del subespacio invariante
El problema del subespacio invariante se refiere al caso en el que V es un espacio de Hilbert separable sobre los números complejos , de dimensión> 1, y T es un operador acotado . El problema es decidir si cada T tiene un subespacio invariante, cerrado y no trivial. Este problema no está resuelto a partir de 2021.[actualizar].
En el caso más general en el que se supone que V es un espacio de Banach , hay un ejemplo de un operador sin un subespacio invariante debido a Per Enflo (1976). Un ejemplo concreto de un operador sin un subespacio invariante fue elaborado en 1985 por Charles Read .
Celosía de subespacio invariante
Dado un conjunto no vacío Σ ⊂ L ( V ), los subespacios invariantes invariantes debajo de cada elemento de Σ forman un retículo , a veces llamado el retículo del subespacio invariante de Σ y denotado por Lat (Σ).
Las operaciones de celosía se definen de una manera natural: para Σ '⊂ Σ, la reúnen operación se define por
mientras que la operación de unión está definida por
Un elemento mínimo en Lat (Σ) se dice que es un subespacio invariante mínimo .
Teorema fundamental del álgebra no conmutativa
Así como el teorema fundamental del álgebra asegura que toda transformación lineal que actúa sobre un espacio vectorial complejo de dimensión finita tiene un subespacio invariante no trivial, el teorema fundamental del álgebra no conmutativa afirma que Lat (Σ) contiene elementos no triviales para ciertos Σ.
Teorema (Burnside) Suponga que V es un espacio vectorial complejo de dimensión finita. Para cada subálgebra propia proper de L ( V ), Lat (Σ) contiene un elemento no trivial.
El teorema de Burnside es de fundamental importancia en el álgebra lineal . Una consecuencia es que todas las familias que viajan diariamente al trabajo en L ( V ) se pueden triangularizar en la parte superior simultáneamente.
Se dice que un conjunto no vacío ⊂ ⊂ L ( V ) es triangularizable si existe una base { e 1 , ..., e n } de V tal que
En otras palabras, Σ es triangularizable si existe una base tal que cada elemento de Σ tenga una representación de matriz triangular superior en esa base. Se deduce del teorema de Burnside que todo álgebra conmutativa Σ en L ( V ) es triangularizable. Por lo tanto, todas las familias que viajan diariamente en L ( V ) se pueden triangularizar en la parte superior simultáneamente.
Ideales de izquierda
Si A es un álgebra , se puede definir una representación regular izquierda Φ en A : Φ ( a ) b = ab es un homomorfismo de A a L ( A ), el álgebra de transformaciones lineales en A
Los subespacios invariantes de Φ son precisamente los ideales de izquierda de A . Un ideal a izquierda M de A da una subrepresentación de A en M .
Si M es una izquierda ideales de A continuación, el Φ representación regular a la izquierda en M ahora desciende a una representación Φ' en el espacio cociente de vectores Un / M . Si [ b ] denota una clase de equivalencia en A / M , Φ '( a ) [ b ] = [ ab ]. El núcleo de la representación Φ 'es el conjunto { a ∈ A | ab ∈ M para todo b }.
La representación Φ 'es irreducible si y solo si M es un ideal izquierdo máximo , ya que un subespacio V ⊂ A / M es invariante bajo {Φ' ( a ) | un ∈ A } si y sólo si su imagen inversa bajo el mapa cociente, V + M , es un ideal a izquierda en A .
Medios espacios casi invariantes
En relación con los subespacios invariantes se encuentran los denominados semiespacios casi invariantes ( AIHS ). Un subespacio cerrado de un espacio de Banach se dice que es casi invariante bajo un operador Si para algún subespacio de dimensión finita ; equivalentemente, es casi invariante bajo si hay un operador de rango finito tal que , es decir, si es invariante (en el sentido habitual) bajo . En este caso, la dimensión mínima posible de (o rango de ) se llama defecto .
Claramente, cada subespacio de dimensión finita y codimensional finita es casi invariante bajo cada operador. Por lo tanto, para hacer las cosas no triviales, decimos que es un medio espacio siempre que sea un subespacio cerrado con dimensión infinita y codimensión infinita.
El problema AIHS pregunta si todos los operadores admiten un AIHS. En el entorno complejo ya se ha resuelto; eso es, si es un complejo espacio de Banach de dimensión infinita y luego admite un AIHS de defecto como máximo 1. Actualmente no se sabe si lo mismo es válido si es un verdadero espacio de Banach. Sin embargo, se han establecido algunos resultados parciales: por ejemplo, cualquier operador autoadjunto en un espacio real de Hilbert de dimensión infinita admite un AIHS, al igual que cualquier operador estrictamente singular (o compacto) que actúe sobre un espacio reflexivo real de dimensión infinita.
Ver también
- Variedad invariante
Bibliografía
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