En álgebra lineal , dos matrices y se dice que conmuta si, o equivalentemente si su conmutador es cero. Un conjunto de matricesse dice que conmuta si se conmuta por pares, lo que significa que cada par de matrices del conjunto conmuta entre sí.
Caracterizaciones y propiedades
- Las matrices de conmutación preservan los espacios propios de las demás . [1] Como consecuencia, las matrices de conmutación sobre un campo algebraicamente cerrado son simultáneamente triangularizables ; es decir, hay bases sobre las que ambos son triangulares superiores . En otras palabras, si conmutar, existe una matriz de similitud tal que es triangular superior para todos . Lo contrario no es necesariamente cierto, como muestra el siguiente contraejemplo:
- Sin embargo, si el cuadrado del conmutador de dos matrices es cero, es decir, , entonces lo contrario es cierto. [2]
- Si matrices y son simultáneamente diagonalizables ; es decir, si existe una matriz de similitud tal que y son ambos diagonales , entonces y viajar diariamente. Lo contrario no es necesariamente cierto, ya que una de las matrices podría no ser diagonalizable. Por ejemplo,
- Sin embargo, si ambas matrices son diagonalizables, entonces pueden diagonalizarse simultáneamente.
- Si una de las matrices tiene la propiedad de que su polinomio mínimo coincide con su polinomio característico (es decir, tiene el grado máximo), lo que ocurre en particular siempre que el polinomio característico tenga solo raíces simples , entonces la otra matriz se puede escribir como un polinomio en el primero.
- Como consecuencia directa de la triangulización simultánea, los valores propios de dos matrices complejas conmutadas A , B con sus multiplicidades algebraicas (los conjuntos múltiples de raíces de sus polinomios característicos) se pueden emparejar como de tal manera que el conjunto múltiple de valores propios de cualquier polinomio en las dos matrices es el multiset de los valores . Este teorema se debe a Frobenius . [3]
- Dos matrices hermitianas se conmutan si sus espacios propios coinciden. En particular, dos matrices hermitianas sin múltiples autovalores conmutan si comparten el mismo conjunto de autovectores. Esto se sigue considerando las descomposiciones de valores propios de ambas matrices. Dejar y ser dos matrices hermitianas. y tienen espacios propios comunes cuando se pueden escribir como y . Luego se sigue que
- La propiedad de dos matrices que se desplazan no es transitiva : una matriz puede viajar con ambos y , y todavía y no viajen entre sí. A modo de ejemplo, la matriz de identidad conmuta con todas las matrices, que entre ellas no se desplazan todas. Si el conjunto de matrices consideradas se restringe a matrices hermitianas sin múltiples autovalores, entonces la conmutatividad es transitiva, como consecuencia de la caracterización en términos de autovectores.
- El teorema de Lie , que muestra que cualquier representación de un álgebra de Lie resoluble es simultáneamente triangularizable superior puede verse como una generalización.
- Una matriz n × nconmuta con cualquier otra matriz n × n si y solo si es una matriz escalar, es decir, una matriz de la forma, dónde es la matriz identidad n × n yes un escalar. En otras palabras, el centro del grupo de n × n matrices bajo multiplicación es el subgrupo de matrices escalares.
Ejemplos de
- La matriz de identidad conmuta con todas las matrices.
- Cada matriz diagonal conmuta con todas las demás matrices diagonales. [4]
- Los bloques Jordan conmutan con matrices triangulares superiores que tienen el mismo valor a lo largo de las bandas.
- Si el producto de dos matrices simétricas es simétrico, entonces deben conmutar.
- Las matrices circulantes se conmutan. Forman un anillo conmutativo ya que la suma de dos matrices circulantes es circulante.
Historia
La noción de matrices conmutadas fue introducida por Cayley en sus memorias sobre la teoría de matrices, que también proporcionó la primera axiomatización de matrices. El primer resultado significativo que se demostró en ellos fue el resultado anterior de Frobenius en 1878. [5]
Referencias
- ↑ Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (2012). Análisis matricial . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 70. ISBN 9780521839402.
- ^ Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (2012). Análisis matricial . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 127. ISBN 9780521839402.
- ^ Frobenius, G. (1877). "Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 84 : 1–63.
- ^ "¿Las matrices diagonales siempre viajan al trabajo?" . Stack Exchange. 15 de marzo de 2016 . Consultado el 4 de agosto de 2018 .
- ^ Drazin, M. (1951), "Algunas generalizaciones de conmutatividad matricial", Actas de la London Mathematical Society , 3, 1 (1): 222-231, doi : 10.1112 / plms / s3-1.1.222