En matemáticas, específicamente en la teoría de la representación , una subálgebra de Borel de un álgebra de Lie es una subálgebra resoluble máxima . [1] La noción lleva el nombre de Armand Borel .
Si el álgebra de Lie es el álgebra de Lie de un grupo de Lie complejo , luego una subálgebra de Borel es el álgebra de Lie de un subgrupo de Borel .
Subálgebra borel asociada a una bandera
Dejar ser el álgebra de Lie de los endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita V sobre los números complejos. Luego, para especificar una subálgebra de Borel deequivale a especificar una bandera de V ; dado una bandera, el subespacio es una subálgebra de Borel, [2] y, a la inversa, cada subálgebra de Borel tiene esa forma según el teorema de Lie . Por lo tanto, los subálgebras Borel se clasifican por la variedad bandera de V .
Subálgebra de Borel relativa a la base de un sistema de raíces
Dejar ser un álgebra de mentira compleja y semisimple ,una subálgebra de Cartan y R el sistema de raíces asociado a ellos. La elección de una base de R da la noción de raíces positivas. Luego tiene la descomposición dónde . Luegoes la subálgebra de Borel relativa a la configuración anterior. [3] (Se puede resolver ya que el álgebra derivadaes nilpotente. Se puede resolver al máximo mediante un teorema de Borel-Morozov sobre la conjugación de subálgebras solubles. [4] )
Dado un -módulo V , un elemento primitivo de V es un vector (distinto de cero) que (1) es un vector de peso para y que (2) es aniquilado por . Es lo mismo que un-vector de peso (Prueba: si y con y si es una línea, entonces .)
Ver también
Referencias
- Chriss, Neil; Ginzburg, Victor (2009) [1997], Teoría de la representación y geometría compleja , Springer, ISBN 978-0-8176-4938-8.
- Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de mentiras y la teoría de la representación , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
- Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [ Complex Semisimple Lie Algebras ], traducido por Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4.