En geometría diferencial , el teorema de Lie-Palais establece que una acción de un álgebra de Lie de dimensión finita sobre una variedad compacta suave puede elevarse a una acción de un grupo de Lie de dimensión finita . Para variedades con límite, la acción debe preservar el límite, en otras palabras, los campos vectoriales en el límite deben ser tangentes al límite. Palais ( 1957 ) lo demostró como una forma global de un teorema local anterior debido a Sophus Lie .
El ejemplo del campo vectorial d / dx en el intervalo unitario abierto muestra que el resultado es falso para variedades no compactas.
Sin el supuesto de que el álgebra de Lie es de dimensión finita, el resultado puede ser falso. Milnor (1984 , p. 1048) da el siguiente ejemplo debido a Omori: el álgebra de Lie son todos los campos vectoriales f ( x , y ) ∂ / ∂ x + g ( x , y ) ∂ / ∂y actuando sobre el toro R 2 / Z 2 tal que g ( x , y ) = 0 para 0 ≤ x ≤ 1/2. Este álgebra de Lie no es el álgebra de Lie de ningún grupo. Pestov (1995) da una generalización de dimensión infinita del teorema de Lie-Palais para álgebras de Banach-Lie con centro de dimensión finita.
Referencias
- Milnor, John Willard (1984), "Observaciones sobre los grupos de Lie de dimensión infinita", Relatividad, grupos y topología, II (Les Houches, 1983) , Amsterdam: North-Holland, pp. 1007-1057, MR 0830252 Reimpreso en obra recopilada volumen 5.
- Palais, Richard S. (1957), "Una formulación global de la teoría de Lie de los grupos de transformación", Memorias de la American Mathematical Society , 22 : iii + 123, ISBN 978-0-8218-1222-8, ISSN 0065-9266 , MR 0121424
- Pestov, Vladimir (1995), "Grupos de mentiras regulares y un teorema de Lie-Palais", Journal of Lie Theory , 5 (2): 173-178, arXiv : funct-an / 9403004 , Bibcode : 1994funct.an..3004P , ISSN 0949-5932 , MR 1389427