Forma diferencial con valores de álgebra de mentira

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En geometría diferencial, una forma con valores de álgebra de Lie es una forma diferencial con valores en un álgebra de Lie . Tales formas tienen aplicaciones importantes en la teoría de conexiones en un paquete principal así como en la teoría de conexiones de Cartan .

Una forma k diferencial con valores de álgebra de Lie en una variedad, , es una sección uniforme del paquete , donde es un álgebra de Lie , es el paquete cotangente de y Λ ^k denota la k ^-ésima potencia exterior .${\ estilo de visualización M}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}}\times M)\otimes \wedge ^{k}T^{*}M}$${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$${\displaystyle T^{*}M}$${\ estilo de visualización M}$

Dado que cada álgebra de Lie tiene una operación de paréntesis de Lie bilineal , el producto de cuña de dos formas valoradas en álgebra de Lie se puede componer con la operación de paréntesis para obtener otra forma valorada en álgebra de Lie. Para una forma p valorada y una forma q valorada , su producto cuña está dado por ${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$${\ estilo de visualización \ omega}$${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$${\ estilo de visualización \ eta}$${\ estilo de visualización [\ omega \ cuña \ eta]}$

donde los v _i son vectores tangentes. La notación pretende indicar ambas operaciones involucradas. Por ejemplo, si y son formas valuadas en álgebra de Lie, entonces uno tiene${\ estilo de visualización \ omega}$${\ estilo de visualización \ eta}$

La operación también se puede definir como la operación bilineal al satisfacer${\ estilo de visualización [\ omega \ cuña \ eta]}$${\displaystyle \Omega (M,{\mathfrak {g}})}$

para todos y .${\displaystyle g,h\in {\mathfrak {g}}}$${\ estilo de visualización \ alfa, \ beta \ en \ Omega (M, \ mathbb {R})}$

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