En matemáticas , un paquete principal [1] [2] [3] [4] es un objeto matemático que formaliza algunas de las características esenciales del producto cartesiano de un espacio con un grupo . De la misma manera que con el producto cartesiano, un paquete principal está equipado con
- Una acción de en , análogo a para un espacio de producto .
- Una proyección sobre . Para un espacio de producto, esto es solo la proyección sobre el primer factor,.
A diferencia de un espacio de productos, los paquetes principales carecen de una opción preferida de sección transversal de identidad; no tienen un análogo preferido de. Asimismo, generalmente no hay una proyección sobre generalizando la proyección sobre el segundo factor, que existe para el producto cartesiano. También pueden tener una topología complicada que impide que se realicen como un espacio de producto incluso si se toman varias decisiones arbitrarias para tratar de definir dicha estructura definiéndola en partes más pequeñas del espacio.
Un ejemplo común de un paquete principal es el paquete de marcos de un paquete de vectores , que consta de todas las bases ordenadas del espacio vectorial adjunto a cada punto. El grupoen este caso, es el grupo lineal general , que actúa sobre la derecha de la forma habitual : por cambios de base . Dado que no existe una forma natural de elegir una base ordenada de un espacio vectorial, un paquete de tramas carece de una elección canónica de sección transversal de identidad.
Los paquetes principales tienen aplicaciones importantes en topología y geometría diferencial y teoría de calibre matemática . También han encontrado aplicación en la física, donde forman parte del marco fundamental de las teorías del calibre físico .
Definicion formal
Un director -paquete, donde denota cualquier grupo topológico , es un haz de fibras junto con una continua acción correcta tal que conserva las fibras de (es decir, si luego para todos ) y actúa libre y transitivamente (es decir, con regularidad) sobre ellos de tal manera que para cada y , el mapa enviando a es un homeomorfismo. En particular, cada fibra del paquete es homeomórfica para el gruposí mismo. Con frecuencia, se requiere el espacio de la base.para ser Hausdorff y posiblemente paracompacto .
Dado que la acción de grupo conserva las fibras de y actúa transitivamente, se sigue que las órbitas del-accion son precisamente estas fibras y el espacio orbital es homeomorfo al espacio base. Debido a que la acción es libre, las fibras tienen la estructura de G-torsores . A-tor es un espacio que es homeomorfo para pero carece de una estructura de grupo ya que no hay una elección preferida de un elemento de identidad .
Una definición equivalente de un principal -el paquete es como un -manojo con fibra donde el grupo de estructura actúa sobre la fibra por multiplicación por la izquierda. Dado que la multiplicación de la derecha por en la fibra conmuta con la acción del grupo de estructura, existe una noción invariante de multiplicación correcta por en . Las fibras de entonces hazte bien -tortadores de esta acción.
Las definiciones anteriores son para espacios topológicos arbitrarios. También se puede definir principal-Paquetes en la categoría de colectores lisos . Aquíse requiere que sea un mapa uniforme entre colectores suaves,Se requiere que sea un grupo de Lie , y la acción correspondiente en debe ser suave.
Ejemplos de
- El ejemplo prototípico de un haz principal suave es el haz de marcos de un colector suave., a menudo denotado o . Aquí la fibra sobre un puntoes el conjunto de todos los fotogramas (es decir, bases ordenadas) para el espacio tangente . El grupo lineal general actúa libre y transitivamente sobre estos marcos. Estas fibras se pueden pegar juntas de forma natural para obtener un principal-paquete sobre .
- Las variaciones del ejemplo anterior incluyen el paquete de marco ortonormal de una variedad de Riemann . Aquí se requiere que los marcos sean ortonormales con respecto a la métrica . El grupo de estructura es el grupo ortogonal . El ejemplo también funciona para paquetes distintos del paquete tangente; Si es cualquier paquete vectorial de rango encima , luego el paquete de fotogramas de es un director -paquete, a veces denotado .
- Un espacio de cobertura normal (regular) es un paquete principal donde el grupo de estructura
- actúa sobre las fibras de a través de la acción de la monodromía . En particular, la cubierta universal de es un paquete principal sobre con grupo de estructura (dado que la cubierta universal está simplemente conectada y por lo tanto es trivial).
- Dejar sé un grupo de mentiras y deja ser un subgrupo cerrado (no necesariamente normal ). Luego es un director -paquete sobre el espacio lateral (izquierda) . Aquí la acción de en es la multiplicación correcta. Las fibras son las clases laterales izquierdas de (en este caso hay una fibra distinguida, la que contiene la identidad, que es naturalmente isomorfa a ).
- Considere la proyección dada por . Este director-bundle es el paquete asociado de la tira de Möbius . Además del paquete trivial, este es el único principal-paquete sobre .
- Los espacios proyectivos proporcionan algunos ejemplos más interesantes de paquetes principales. Recuerde que el- esfera es un espacio de cobertura doble del espacio proyectivo real . La acción natural de en le da la estructura de un principal -paquete sobre . Igualmente, es un director - paquete sobre un espacio proyectivo complejo y es un director - paquete sobre espacio proyectivo cuaterniónico . Luego tenemos una serie de paquetes principales para cada positivo:
- Aquí denota la esfera unitaria en (equipado con la métrica euclidiana). Para todos estos ejemplos, los casos dan los llamados paquetes de Hopf .
Propiedades básicas
Trivializaciones y cortes transversales
Una de las preguntas más importantes con respecto a cualquier paquete de fibras es si es o no trivial , es decir , isomórfico a un paquete de productos. Para los paquetes principales hay una caracterización conveniente de trivialidad:
- Proposición . Un paquete principal es trivial si y solo si admite una sección transversal global .
No ocurre lo mismo con otros haces de fibras. Por ejemplo, los paquetes de vectores siempre tienen una sección cero, sean triviales o no, y los paquetes de esferas pueden admitir muchas secciones globales sin ser triviales.
El mismo hecho se aplica a las trivializaciones locales de los principales paquetes. Sea π : P → X un paquete G principal . Un conjunto abierto U de X admite una trivialización local si y sólo si existe una sección local en T . Dada una banalización local
se puede definir una sección local asociada
donde e es la identidad en G . Por el contrario, dada una sección s, se define una trivialización Φ por
La simple transitividad de la acción de G sobre las fibras de P garantiza que este mapa es una biyección , también es un homeomorfismo . Las trivializaciones locales definidas por secciones locales son G - equivariantes en el siguiente sentido. Si escribimos
en la forma
luego el mapa
satisface
Por tanto, las trivializaciones equivariantes conservan la estructura G -torsor de las fibras. En términos de la sección local asociada s, el mapa φ viene dado por
La versión local del teorema de la sección transversal establece que las trivializaciones locales equivariantes de un paquete principal están en correspondencia uno a uno con las secciones locales.
Dada una trivialización local equivariante ({ U i }, {Φ i }) de P , tenemos secciones locales s i en cada U i . En solapamientos éstos deben estar relacionados por la acción del grupo de estructura G . De hecho, la relación la proporcionan las funciones de transición.
Para cualquier x ∈ U i ∩ U j tenemos
Caracterización de haces principales lisos
Si es un principio suave - paquete entonces actúa libre y correctamente sobre para que el espacio orbital es difeomorfo al espacio base. Resulta que estas propiedades caracterizan completamente los paquetes principales suaves. Es decir, si es un colector suave, un grupo de mentiras y una acción correcta suave, libre y adecuada, entonces
- es un colector suave,
- la proyección natural es una inmersión suave , y
- es un principio suave -paquete sobre .
Uso de la noción
Reducción del grupo de estructura
Dado un subgrupo H de G, se puede considerar el paquete cuyas fibras son homeomorfas al espacio de la clase lateral . Si el nuevo paquete admite una sección global, entonces se dice que la sección es una reducción del grupo de estructura de a . La razón de este nombre es que la imagen inversa (de fibra) de los valores de esta sección forman un subconjunto de eso es un director -manojo. Si es la identidad, luego una sección de en sí mismo es una reducción del grupo de estructura a la identidad. En general, no existen reducciones del grupo de estructura.
Muchas preguntas topológicas sobre la estructura de una variedad o la estructura de paquetes sobre ella que están asociadas a un principal -bundle puede reformularse como preguntas sobre la admisibilidad de la reducción del grupo de estructura (de a ). Por ejemplo:
- A -La variedad real dimensional admite una estructura casi compleja si el paquete de marco en la variedad, cuyas fibras son, se puede reducir al grupo .
- Un -la variedad real dimensional admite una -campo de plano si el paquete de marcos se puede reducir al grupo de estructura .
- Un colector es orientable si y solo si su conjunto de marcos se puede reducir al grupo ortogonal especial ,.
- Un colector tiene estructura de giro si y solo si su conjunto de marcos se puede reducir aún más de a el grupo Spin , que se asigna a como doble tapa.
También tenga en cuenta: un -múltiple dimensional admite campos vectoriales que son linealmente independientes en cada punto si y solo si su paquete de tramas admite una sección global. En este caso, la variedad se llama paralelizable .
Marcos y paquetes de vectores asociados
Si es un director -paquete y es una representación lineal de, entonces se puede construir un paquete de vectores con fibra , como el cociente del producto × por la acción diagonal de . Este es un caso especial de la construcción del paquete asociado , yse llama un paquete de vectores asociado a. Si la representación de en es fiel , para que es un subgrupo del grupo lineal general GL (), luego es un -paquete y proporciona una reducción del grupo de estructura del paquete de marco de de a . Este es el sentido en el que los paquetes principales proporcionan una formulación abstracta de la teoría de los paquetes de marcos.
Clasificación de paquetes principales
Cualquier grupo topológico G admite un espacio clasificador BG : el cociente por la acción de G de algún espacio EG débilmente contráctil , es decir , un espacio topológico con grupos homotópicos que desaparecen . El espacio de clasificación tiene la propiedad de que cualquier paquete principal G sobre una variedad paracompacta B es isomorfo a un retroceso del paquete principal EG → BG . [5] De hecho, más es cierto, ya que el conjunto de clases de isomorfismo de los principales paquetes G sobre la base B se identifica con el conjunto de clases de homotopía de los mapas B → BG .
Ver también
- Paquete asociado
- Paquete de vectores
- Estructura G
- Reducción del grupo de estructura
- Teoría del calibre
- Conexión (paquete principal)
- Fibra G
Referencias
- ^ Steenrod, Norman (1951). La topología de los paquetes de fibra . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 0-691-00548-6. página 35
- ^ Husemoller, Dale (1994). Paquetes de fibra (Tercera ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8. página 42
- ^ Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94732-9. página 37
- ^ Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Gire la geometría . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-08542-5. página 370
- ^ Stasheff, James D. (1971), " Espacios H y espacios de clasificación: fundamentos y desarrollos recientes", Topología algebraica (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 247–272, Teorema 2
Fuentes
- Bleecker, David (1981). Teoría del calibre y principios de variación . Addison-Wesley Publishing. ISBN 0-486-44546-1.
- Jost, Jürgen (2005). Geometría y análisis geométrico de Riemann ((4ª ed.) Ed.). Nueva York: Springer. ISBN 3-540-25907-4.
- Husemoller, Dale (1994). Paquetes de fibra (Tercera ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8.
- Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
- Steenrod, Norman (1951). La topología de los paquetes de fibra . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-00548-6.