En matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y teoría de gauge , una conexión es un dispositivo que define una noción de transporte paralelo en el paquete; es decir, una forma de "conectar" o identificar fibras en puntos cercanos. Un director G -conexión en un G-fibrado principal P sobre un múltiple liso M es un tipo particular de conexión que es compatible con la acción del grupo G .
Una conexión principal puede verse como un caso especial de la noción de conexión de Ehresmann y, a veces, se denomina conexión de Ehresmann principal . Da lugar a conexiones (Ehresmann) en cualquier haz de fibras asociado a P a través de la construcción del haz asociado . En particular, en cualquier paquete de vectores asociado, la conexión principal induce una derivada covariante , un operador que puede diferenciar secciones de ese paquete a lo largo de direcciones tangentes en la variedad base. Las conexiones principales generalizan a paquetes principales arbitrarios el concepto de una conexión lineal en el paquete de marco de una variedad suave .
Definicion formal
Dejar ser un paquete G principal suave sobre un colector suave . Entonces un director -conexión en es una forma 1 diferencial en con valores en el álgebra de Lie de cual es -equivariante y reproduce los generadores de álgebra de Lie de los campos vectoriales fundamentales en.
En otras palabras, es un elemento ω de tal que
- dónde denota multiplicación a la derecha por , y es la representación adjunta en (explícitamente, );
- Si y es el campo vectorial en P asociado a ξ al diferenciar la acción de G en P , entonces (idénticamente en ).
A veces, el término conexión G principal se refiere al par y en sí mismo se denomina forma de conexión o forma de conexión 1 de la conexión principal.
Observaciones computacionales
La mayoría de los cálculos no triviales conocidos de las conexiones G principales se realizan con espacios homogéneos debido a la trivialidad del paquete (co) tangente. (Por ejemplo, deje, sea un paquete G principal sobre ) Esto significa que las formas 1 en el espacio total son canónicamente isomórficas a , dónde es el álgebra de mentira dual, por lo tanto, las conexiones G están en biyección con .
Relación con las conexiones de Ehresmann
Una conexión G principal ω en P determina una conexión de Ehresmann en P de la siguiente manera. En primer lugar, observe que los campos vectoriales fundamentales que generan la acción G sobre P proporcionan un isomorfismo de paquete (que cubre la identidad de P ) desde el paquete VP a, donde VP = ker (d π ) es el kernel del mapeo tangente que se llama el haz vertical, de P . Se deduce que ω determina de forma única un mapa haz v : TP → V que es la identidad en V . Tal proyección v se determina de forma única por su núcleo, que es un subfibrado lisa H de TP (llamado el haz horizontal ) de tal manera que TP = V ⊕ H . Esta es una conexión de Ehresmann.
Por el contrario, una conexión de Ehresmann H ⊂ TP ( ov : TP → V ) en P define una conexión G principal ω si y solo si es G -equariante en el sentido de que.
Retirar a través de la sección trivializante
Una sección trivializar de un fibrado principal P viene dada por una sección s de P sobre un subconjunto abierto U de M . Entonces el retroceso s * ω de una conexión principal es una forma 1 en U con valores en. Si la sección s es reemplazada por una nueva sección sg , definida por ( sg ) ( x ) = s ( x ) g ( x ), donde g : M → G es un mapa suave, entonces. La conexión principal está determinada únicamente por esta familia de-formas 1 valoradas, y estas formas 1 también se denominan formas de conexión o formas de conexión 1 , particularmente en la literatura más antigua o más orientada a la física.
Paquete de conexiones principales
El grupo G actúa sobre el haz tangente TP por traslación a la derecha. El espacio del cociente TP / G también es una variedad y hereda la estructura de un haz de fibras sobre TM que se denotará como dπ : TP / G → TM . Deje ρ: TP / G → M sea la proyección sobre M . Las fibras del haz TP / G bajo la proyección ρ llevan una estructura aditiva.
El paquete TP / G se denomina paquete de conexiones principales ( Kobayashi 1957 ). Una sección Γ de dπ: TP / G → TM tal que Γ: TM → TP / G es un morfismo lineal de paquetes del vector más de M , puede ser identificado con una conexión principal en P . A la inversa, una conexión principal como se definió anteriormente da lugar a dicha una sección Γ de TP / G .
Finalmente, sea Γ una conexión principal en este sentido. Sea q : TP → TP / G el mapa de cocientes. La distribución horizontal de la conexión es el paquete
- Vemos de nuevo el enlace al paquete horizontal y, por tanto, la conexión de Ehresmann.
Propiedad afín
Si ω y ω ′ son conexiones principales en un paquete principal P , entonces la diferencia ω ′ - ω es una-valued 1-forma en P que no sólo es G -equivariant, pero horizontal en el sentido de que se desvanece en cualquier sección del haz vertical de V de P . Por lo tanto, es básico y, por lo tanto, está determinado por una forma 1 en M con valores en el paquete adjunto
A la inversa, cualquiera de estas formas define (a través del retroceso) una forma 1 horizontal G -equivariante en P , y el espacio de las conexiones G principales es un espacio afín para este espacio de formas 1.
Derivadas covariantes y exteriores inducidas
Para cualquier representación lineal W de G hay un paquete de vectores asociado sobre M , y una conexión principal induce una derivada covariante en cualquier conjunto de vectores. Esta derivada covariante se puede definir utilizando el hecho de que el espacio de las secciones desobre M es isomorfo al espacio de G -equivariant W -valued funciones en P . Más generalmente, el espacio de k- formas con valores en se identifica con el espacio de G -equivariant y horizontal W -valued k -formas en P . Si α es una forma k de este tipo , entonces su derivada exterior d α , aunque G -equivariante, ya no es horizontal. Sin embargo, la combinación d α + ω Λ α es. Esto define una derivada covariante exterior d ω de-valued k -formas en M a-valued ( k 1) -formas en M . En particular, cuando k = 0, obtenemos una derivada covariante en.
Forma de curvatura
La forma de curvatura de una conexión G principal ω es la-valuado en 2 formas Ω definido por
Es G -equivariante y horizontal, por lo tanto corresponde a una forma 2 en M con valores en. La identificación de la curvatura con esta cantidad a veces se denomina ecuación de segunda estructura (de Cartan) . [1] Históricamente, el surgimiento de las ecuaciones de estructura se encuentra en el desarrollo de la conexión de Cartan . Cuando se transponen al contexto de los grupos de Lie , las ecuaciones de estructura se conocen como ecuaciones de Maurer-Cartan : son las mismas ecuaciones, pero en una configuración y notación diferentes.
Conexiones en paquetes de cuadros y torsión
Si el paquete principal P es el paquete del marco , o (más generalmente) si tiene una forma de soldadura , entonces la conexión es un ejemplo de una conexión afín , y la curvatura no es la única invariante, ya que la estructura adicional de la forma de soldadura θ , que es una forma 1 equivariante de R n valorada en P , debe tenerse en cuenta. En particular, la forma de torsión en P , es una forma 2 valorada en R n definida por
Θ es G -equivariante y horizontal, por lo que desciende a una forma 2 valorada en tangente en M , llamada torsión . Esta ecuación a veces se denomina ecuación de primera estructura (de Cartan) .
Referencias
- ^ Eguchi, Tohru; Gilkey, Peter B .; Hanson, Andrew J. (1980). "Gravitación, teorías de gauge y geometría diferencial" . Informes de física . 66 (6): 213–393. Código bibliográfico : 1980PhR .... 66..213E . doi : 10.1016 / 0370-1573 (80) 90130-1 .
- Kobayashi, Shoshichi (1957), "Teoría de las conexiones", Ann. Estera. Pura Appl. , 43 : 119–194, doi : 10.1007 / BF02411907 , S2CID 120972987
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3
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tiene texto extra ( ayuda ) - Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operaciones naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, archivado desde el original (PDF) en 2017-03-30 , consultado 2008-03-25