En matemáticas , especialmente en geometría diferencial , el paquete cotangente de una variedad suave es el paquete vectorial de todos los espacios cotangentes en cada punto de la variedad. Puede ser descrito también como el doble haz a la paquete de la tangente . Esto puede generalizarse a categorías con más estructura que las variedades suaves, como las variedades complejas o (en forma de haz cotangente) variedades o esquemas algebraicos.. En el caso liso, cualquier forma métrica o simpléctica de Riemann da un isomorfismo entre el haz cotangente y el haz tangente, pero en general no son isomórficos en otras categorías.
Definicion formal
Sea M una variedad suave y sea M × M el producto cartesiano de M consigo mismo. El mapeo diagonal Δ envía un punto p en M hasta el punto ( p , p ) de M × M . La imagen de Δ se llama diagonal. Dejarser el haz de gérmenes de funciones suaves en M × M que se desvanecen en la diagonal. Entonces la gavilla del cociente Consiste en clases de equivalencia de funciones que se desvanecen en términos de orden superior módulo diagonal. La gavilla cotangente se define como el retroceso de esta gavilla a M :
Por el teorema de Taylor , se trata de una gavilla localmente libre de módulos con respecto a la gavilla de gérmenes de funciones suaves de M . Por lo tanto, define un paquete de vectores en M : el paquete cotangente .
Las secciones lisas del haz cotangente se denominan formas uniformes (diferenciales) .
Propiedades de contravarianza
Un morfismo suave de colectores, induce una gavilla de retroceso en M . Hay un mapa inducido de paquetes de vectores..
Ejemplos de
El paquete tangente del espacio vectorial es , y el paquete cotangente es , dónde denota el espacio dual de covectores, funciones lineales.
Dado un colector suave incrustado como una hipersuperficie representada por el lugar de fuga de una función con la condición de que el paquete tangente es
dónde es la derivada direccional . Por definición, el paquete cotangente en este caso es
dónde Dado que cada covector corresponde a un vector único para cual por un arbitrario
El paquete cotangente como espacio de fase
Dado que el paquete cotangente X = T * M es un paquete vectorial , se puede considerar como una variedad por derecho propio. Debido a que en cada punto las direcciones de la tangente de M pueden emparejarse con sus cobertores duales en la fibra, X posee una forma única canónica θ llamada forma única tautológica , que se analiza a continuación. La derivada exterior de θ es una 2-forma simpléctica , de los cuales un no degenerado forma volumen puede ser construido para X . Por ejemplo, como resultado, X es siempre una variedad orientable (el paquete tangente TX es un paquete vectorial orientable). Se puede definir un conjunto especial de coordenadas en el paquete cotangente; estas se denominan coordenadas canónicas . Debido a que los haces cotangentes se pueden considerar como variedades simplécticas , cualquier función real en el haz cotangente puede interpretarse como hamiltoniana ; por tanto, puede entenderse que el paquete cotangente es un espacio de fase en el que se desarrolla la mecánica hamiltoniana .
La forma única tautológica
El paquete cotangente lleva una forma canónica también conocida como potencial simpléctico , forma de Poincaré 1 o forma de Liouville 1 . Esto significa que si consideramos T * M como un colector en su propio derecho, hay una canónica sección del paquete del vector T * ( T * M ) sobre T * M .
Esta sección se puede construir de varias formas. El método más elemental utiliza coordenadas locales. Supongamos que xi i son coordenadas locales sobre la base del bloque M . En términos de estas coordenadas base, hay coordenadas de fibra p i : una forma única en un punto particular de T * M tiene la forma p i dx i ( convención de suma de Einstein implícita). Entonces, la variedad T * M en sí lleva coordenadas locales ( x i , p i ) donde las x son coordenadas en la base y las p son coordenadas en la fibra. La forma única canónica viene dada en estas coordenadas por
Intrínsecamente, el valor de la forma única canónica en cada punto fijo de T * M se da como un retroceso . Específicamente, suponga que π: T * M → M es la proyección del paquete. Tomar un punto en T x * M es lo mismo que elegir un punto x en M y una forma única one en x , y la forma única tautológica θ asigna al punto ( x , ω) el valor
Es decir, para un vector v en el paquete tangente del paquete cotangente, la aplicación de la forma tautológica θ a v en ( x , ω) se calcula proyectando v en el paquete tangente en x usando d π: T ( T * M ) → TM y aplicando ω a esta proyección. Tenga en cuenta que la única forma tautológica no es un retroceso de una forma en la base M .
Forma simpléctica
El paquete cotangente tiene una forma 2 simpléctica canónica en él, como un derivado exterior de la forma tautológica única , el potencial simpléctico . Demostrar que esta forma es, de hecho, simpléctica se puede hacer observando que ser simpléctico es una propiedad local: dado que el paquete cotangente es localmente trivial, esta definición solo necesita verificarse en. Pero allí la única forma definida es la suma de, y el diferencial es la forma simpléctica canónica, la suma de .
Espacio de fase
Si el colector representa el conjunto de posiciones posibles en un sistema dinámico , luego el paquete cotangentepuede pensarse como el conjunto de posibles posiciones y momentos . Por ejemplo, esta es una forma de describir el espacio de fase de un péndulo. El estado del péndulo está determinado por su posición (un ángulo) y su momento (o equivalentemente, su velocidad, ya que su masa es constante). Todo el espacio de estados parece un cilindro, que es el haz cotangente del círculo. La construcción simpléctica anterior, junto con una función de energía apropiada , da una determinación completa de la física del sistema. Ver la mecánica hamiltoniana y el artículo sobre flujo geodésico para una construcción explícita de las ecuaciones de movimiento hamiltonianas.
Ver también
- Transformación de Legendre
Referencias
- Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de la Mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Jost, Jürgen (2002). Geometría Riemanniana y Análisis Geométrico . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-63654-4.
- Cantante, Stephanie Frank (2001). Simetría en mecánica: una suave introducción moderna . Boston: Birkhäuser.