En matemáticas , el método de Lill es un método visual para encontrar las raíces reales de polinomios de cualquier grado . [1] Fue desarrollado por el ingeniero austriaco Eduard Lill en 1867. [2] Un artículo posterior de Lill trató el problema de las raíces complejas . [3]
El método de Lill implica expresar los coeficientes de un polinomio como magnitudes de segmentos en ángulos rectos entre sí, comenzando desde el origen, creando una ruta hacia un término, luego encontrando una ruta en ángulo no recto desde el inicio hasta el término reflejando o refractando en las líneas del primer camino.
Descripción del método
Para emplear el método, se dibuja un diagrama comenzando en el origen. Un segmento de línea se dibuja hacia la derecha por la magnitud del primer coeficiente (el coeficiente del término de mayor potencia) (de modo que con un coeficiente negativo el segmento terminará a la izquierda del origen). Desde el final del primer segmento, se dibuja otro segmento hacia arriba por la magnitud del segundo coeficiente, luego hacia la izquierda por la magnitud del tercero, y hacia abajo por la magnitud del cuarto, y así sucesivamente. La secuencia de direcciones (no giros) es siempre hacia la derecha, hacia arriba, hacia la izquierda, hacia abajo, y luego se repite. Por lo tanto, cada giro es en sentido antihorario. El proceso continúa para cada coeficiente del polinomio, incluidos los ceros, con coeficientes negativos "caminando hacia atrás". El punto final alcanzado, al final del segmento correspondiente al término constante de la ecuación, es el término.
Luego se lanza una línea desde el origen en algún ángulo θ , se refleja en cada segmento de línea en ángulo recto (no necesariamente el ángulo de reflexión "natural") y se refracta en ángulo recto a través de la línea a través de cada segmento (incluido línea para los coeficientes cero) cuando la trayectoria en ángulo no golpea el segmento de línea en esa línea. [4] Las líneas verticales y horizontales se reflejan o refractan en la siguiente secuencia: la línea que contiene el segmento correspondiente al coeficiente de luego de etc. Al elegir θ para que el camino aterrice en el término, el negativo de la tangente de θ es una raíz de este polinomio. Por cada cero real del polinomio, habrá un ángulo y una trayectoria iniciales únicos que aterrizarán en el término. Una cuadrática con dos raíces reales, por ejemplo, tendrá exactamente dos ángulos que satisfagan las condiciones anteriores.
En efecto, la construcción evalúa el polinomio según el método de Horner . Para el polinomio los valores de , , se generan sucesivamente. Una línea de solución que da una raíz es similar a la construcción de Lill para el polinomio con esa raíz eliminada.
Encontrar raíces cuadráticas usando el teorema de Thales
El método de Lill se puede utilizar con el teorema de Thales para encontrar las raíces reales de un polinomio cuadrático.
En este ejemplo con 3 x 2 +5 x −2, los segmentos de línea del polinomio se dibujan primero en negro, como se muestra arriba. Se dibuja un círculo con el segmento de línea recta que une los puntos inicial y final formando un diámetro.
Según el teorema de Tales, el triángulo que contiene estos puntos y cualquier otro punto del círculo es un triángulo rectángulo . Las intersecciones de este círculo con el segmento medio del método de Lill, extendido si es necesario, definen así los dos caminos en ángulo en el método de Lill, de color azul y rojo.
El negativo de los gradientes de sus primeros segmentos, m , produce las raíces reales 1/3 y -2.
Encontrar raíces usando papel plegado
En 1936, Margherita Piazzola Beloch mostró cómo el método de Lill podría adaptarse para resolver ecuaciones cúbicas utilizando papel plegado . [5] Si pliegues simultáneas se permite entonces cualquier n º ecuación grado con una raíz real pueden ser resueltos usando n pliegues -2 simultáneas. [6]
En este ejemplo con 3x 3 + 2x 2 −7x + 2, los segmentos de línea del polinomio se dibujan primero en una hoja de papel (negro). Se dibujan líneas que pasan por reflejos de los puntos inicial y final en el segundo y tercer segmento, respectivamente (círculo y cuadrado tenues), y paralelas a ellos (líneas grises).
Para cada raíz, el papel se dobla hasta que el punto de inicio (círculo negro) y el punto final (cuadrado negro) se reflejan en estas líneas. El eje de reflexión (línea de puntos y guiones) define la trayectoria en ángulo correspondiente a la raíz (azul, morado y rojo). El negativo de los gradientes de sus primeros segmentos, m , produce las raíces reales 1/3, 1 y −2.
Ver también
- Círculo de Carlyle , que se basa en una versión ligeramente modificada del método de Lill para una cuadrática normalizada.
Referencias
- ^ Dan Kalman (2009). Excursiones matemáticas poco comunes: polinomia y dominios relacionados . AMS. pp. 13 -22. ISBN 978-0-88385-341-2.
- ^ YO Lill (1867). "Résolution graphique des équations numériques de tous degrés à une seule inconnue, et description d'un instrument inventé dans ce but" (PDF) . Nouvelles Annales de Mathématiques . 2. 6 : 359–362.
- ^ YO Lill (1868). "Résolution graphique des équations algébriques qui ont des racines imaginaires" (PDF) . Nouvelles Annales de Mathématiques . 2. 7 : 363–367.
- ^ Bradford, Phillips Verner. "Visualización de soluciones a ecuaciones algebraicas de n-ésimo grado utilizando trayectorias geométricas en ángulo recto" . www.concentric.net. Archivado desde el original el 2 de mayo de 2010 . Consultado el 3 de febrero de 2012 .
- ^ Thomas C. Hull (abril de 2011). "Resolver cúbicos con arrugas: el trabajo de Beloch y Lill" (PDF) . American Mathematical Monthly : 307–315. doi : 10.4169 / amer.math.monthly.118.04.307 .
- ^ Roger C. Alperin; Robert J. Lang (2009). "Axiomas de origami de uno, dos y varios pliegues" (PDF) . 4OSME . AK Peters.