En matemáticas , un círculo de Carlyle (llamado así por Thomas Carlyle ) es un círculo determinado en un plano de coordenadas asociado con una ecuación cuadrática . El círculo tiene la propiedad de que las soluciones de la ecuación cuadrática son las coordenadas horizontales de las intersecciones del círculo con el eje horizontal . Los círculos de Carlyle se han utilizado para desarrollar construcciones con regla y compás de polígonos regulares .
Definición
Dada la ecuación cuadrática
- x 2 - sx + p = 0
el círculo en el plano de coordenadas que tiene el segmento de línea que une los puntos A (0, 1) y B ( s , p ) como diámetro se llama el círculo de Carlyle de la ecuación cuadrática. [1] [2] [3]
Definición de propiedad
La propiedad definitoria del círculo de Carlyle se puede establecer así: la ecuación del círculo que tiene el segmento de línea AB como diámetro es
- x ( x - s ) + ( y - 1) ( y - p ) = 0.
Las abscisas de los puntos donde el círculo interseca el eje x son las raíces de la ecuación (obtenidas al establecer y = 0 en la ecuación del círculo)
- x 2 - sx + p = 0.
Construcción de polígonos regulares
Pentágono regular
El problema de construir un pentágono regular es equivalente al problema de construir las raíces de la ecuación
- z 5 - 1 = 0.
Una raíz de esta ecuación es z 0 = 1 que corresponde al punto P 0 (1, 0). Eliminando el factor correspondiente a esta raíz, las otras raíces resultan ser raíces de la ecuación
- z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0.
Estas raíces se pueden representar en la forma ω, ω 2 , ω 3 , ω 4 donde ω = exp (2 π i / 5). Deje que estos correspondan a los puntos P 1 , P 2 , P 3 , P 4 . Dejando
- p 1 = ω + ω 4 , p 2 = ω 2 + ω 3
tenemos
- p 1 + p 2 = −1, p 1 p 2 = −1. (Se puede demostrar rápidamente que estos son verdaderos mediante la sustitución directa en el cuartico anterior y notando que ω 6 = ω y ω 7 = ω 2 ).
Entonces p 1 y p 2 son las raíces de la ecuación cuadrática
- x 2 + x - 1 = 0.
El círculo de Carlyle asociado con esta cuadrática tiene un diámetro con extremos en (0, 1) y (-1, -1) y centro en (-1/2, 0). Los círculos de Carlyle se utilizan para construir p 1 y p 2 . De las definiciones de p 1 y p 2 también se sigue que
- p 1 = 2 cos (2 π / 5), p 2 = 2 cos (4 π / 5).
Luego se utilizan para construir los puntos P 1 , P 2 , P 3 , P 4 .
Este procedimiento detallado que involucra círculos de Carlyle para la construcción de pentágonos regulares se da a continuación. [3]
- Dibuje un círculo en el que para inscribir el pentágono y marque el punto central O .
- Dibuja una línea horizontal a través del centro del círculo. Marque una intersección con el círculo como punto B .
- Construye una línea vertical que pase por el centro. Marque una intersección con el círculo como punto A .
- Construir el punto M como el punto medio de O y B .
- Dibuje un círculo centrado en M a través del punto A . Este es el círculo Carlyle para x 2 + x - 1 = 0. Marcos su intersección con la línea horizontal (dentro del círculo original) como el punto W y su intersección fuera del círculo como el punto V . Estos son los puntos p 1 y p 2 mencionados anteriormente.
- Dibuje un círculo de radio OA y el centro de W . Se cruza con el círculo original en dos de los vértices del pentágono.
- Dibuje un círculo de radio OA y el centro de V . Se cruza con el círculo original en dos de los vértices del pentágono.
- El quinto vértice es la intersección del eje horizontal con el círculo original.
Heptadecágono regular
Existe un método similar que involucra círculos de Carlyle para construir heptadecágonos regulares . [3] La figura de la derecha ilustra el procedimiento.
Regular 257-gon
Para construir un 257-gon regular usando círculos de Carlyle, se deben construir hasta 24 círculos de Carlyle. Uno de ellos es el círculo para resolver la ecuación cuadrática x 2 + x - 64 = 0. [3]
Regular 65537-gon
Existe un procedimiento que involucra círculos de Carlyle para la construcción de un 65537-gon regular . Sin embargo, existen problemas prácticos para la implementación del procedimiento; por ejemplo, requiere la construcción del círculo de Carlyle para la solución de la ecuación cuadrática x 2 + x - 2 14 = 0. [3]
Historia
Según Howard Eves (1911-2004), el matemático John Leslie (1766-1832) describió la construcción geométrica de las raíces de una ecuación cuadrática con un círculo en su libro Elements of Geometry y señaló que esta idea fue proporcionada por su antiguo alumno Thomas Carlyle. (1795-1881). [4] Sin embargo, aunque la descripción en el libro de Leslie contiene una construcción circular análoga, se presentó únicamente en términos geométricos elementales sin la noción de un sistema de coordenadas cartesianas o una función cuadrática y sus raíces: [5]
Dividir una línea recta, ya sea interna o externamente, de modo que el rectángulo debajo de sus segmentos sea equivalente a un rectángulo dado.
- John Leslie, Elementos de geometría , prop. XVII, pág. 176 [5]
En 1867, el ingeniero austriaco Eduard Lill publicó un método gráfico para determinar las raíces de un polinomio ( método de Lill ). Si se aplica en una función cuadrática, entonces produce la figura trapezoidal de la solución de Carlyle al problema de Leslie (ver gráfico) con uno de sus lados siendo el diámetro del círculo de Carlyle. En un artículo de 1925, GA Miller señaló que una ligera modificación del método de Lill aplicado a una función cuadrática normalizada produce un círculo que permite la construcción geométrica de las raíces de esa función y dio la definición moderna explícita de lo que más tarde se llamaría Carlyle. circulo. [6]
Eves utilizó el círculo en el sentido moderno en uno de los ejercicios de su libro Introducción a la historia de las matemáticas (1953) y señaló la conexión con Leslie y Carlyle. [4] Publicaciones posteriores comenzaron a adoptar los nombres de círculo de Carlyle , método de Carlyle o algoritmo de Carlyle , aunque en los países de habla alemana también se usa el término círculo de Lill ( Lill-Kreis ). [7] DeTemple utilizó en 1989 y 1991 círculos de Carlyle para diseñar construcciones de compás y regla para polígonos regulares, en particular el pentágono , el heptadecágono , el 257-gon y el 65537-gon . Ladislav Beran describió en 1999 cómo se puede utilizar el círculo de Carlyle para construir las raíces complejas de una función cuadrática normalizada. [8]
Referencias
- ^ E. John Hornsby, Jr .: Soluciones geométricas y gráficas de ecuaciones cuadráticas . The College Mathematics Journal, vol. 21, núm. 5 (noviembre de 1990), págs. 362–369 ( JSTOR )
- ^ Weisstein, Eric W. "Carlyle Circle" . De MathWorld — Un recurso web de Wolfram . Consultado el 21 de mayo de 2013 .
- ^ a b c d e DeTemple, Duane W. (febrero de 1991). "Los círculos de Carlyle y la simplicidad de Lemoine de las construcciones poligonales" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 98 (2): 97-208. doi : 10.2307 / 2323939 . JSTOR 2323939 . Archivado desde el original (PDF) el 21 de diciembre de 2015 . Consultado el 6 de noviembre de 2011 .( JSTOR )
- ^ a b Véase, por ejemplo, Hornsby, DeTemple o Howard Eves: Introducción a la historia de las matemáticas . Holt, Rinehart y Winston, tercera edición, 1969, pág. 73
- ^ a b John Leslie: Elementos de geometría y trigonometría plana: Con un apéndice y abundantes notas e ilustraciones . Archibald Constable & Co, 3. Ausgabe, 1817, págs. 176, 340 ( copia en línea (Google) ). Tenga en cuenta que el comentario sobre Carlyle no está contenido en ediciones anteriores del libro (1809, 1811).
- ^ GA Miller: Solución geométrica de la ecuación cuadrática . The Mathematical Gazette, vol. 12, núm. 179 (diciembre de 1925), págs. 500–501 ( JSTOR )
- ^ Rainer Kaenders (ed.), Reinhard Schmidt (ed.): Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen . Springer Spektrum, 2da edición, 2014, ISBN 978-3-658-04222-6 , págs.68-71 (alemán)
- ^ Ladislav Beran: Las raíces complejas de una cuadrática de un círculo . The Mathematical Gazette, vol. 83, núm. 497 (julio de 1999), págs. 287-291 ( JSTOR )