En geometría , el teorema de Thales establece que si A, B y C son puntos distintos en un círculo donde la línea AC es un diámetro , el ángulo ABC es un ángulo recto . El teorema de Thales es un caso especial del teorema del ángulo inscrito y se menciona y demuestra como parte de la proposición 31 en el tercer libro de Los elementos de Euclides . [1] Generalmente se atribuye a Tales de Mileto, pero a veces se atribuye a Pitágoras .
Historia
triangol sì ch'un retto non avesse.
- O si en semicírculo se puede hacer
- Triángulo para que no tenga un ángulo recto.
Paradiso de Dante , Canto 13, líneas 101-102. Traducción al inglés de Henry Wadsworth Longfellow .
No hay nada existente de la escritura de Tales; el trabajo realizado en la antigua Grecia tendía a atribuirse a hombres de sabiduría sin tener en cuenta a todos los individuos involucrados en construcciones intelectuales particulares; esto es cierto especialmente en Pitágoras. La atribución tiende a ocurrir en un momento posterior. [2] Proclo hizo referencia a Thales y Diogenes Laërtius documentando la declaración de Pamphila de que Thales [3] "fue el primero en inscribir en un círculo un triángulo de ángulo recto".
Los matemáticos indios y babilónicos sabían esto en casos especiales antes de que Tales lo probara. [4] Se cree que Tales aprendió que un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto durante sus viajes a Babilonia . [5] El teorema lleva el nombre de Tales porque fuentes antiguas dijeron que fue el primero en probar el teorema, utilizando sus propios resultados de que los ángulos de base de un triángulo isósceles son iguales y que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180 °.
El Paradiso de Dante (canto 13, líneas 101-102) se refiere al teorema de Tales en el transcurso de un discurso.
Prueba
Primera prueba
Se utilizan los siguientes hechos: la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180 ° y los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.
Dado que OA = OB = OC , ∆OBA y ∆OBC son triángulos isósceles, y por la igualdad de los ángulos base de un triángulo isósceles, ∠OBC = ∠OCB y ∠OBA = ∠OAB.
Sea α = ∠BAO y β = ∠OBC. Los tres ángulos internos del triángulo ∆ABC son α , ( α + β ) y β . Dado que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180 °, tenemos
Segunda prueba
El teorema también se puede probar usando trigonometría : Sea, , y . Entonces B es un punto en el círculo unitario. Demostraremos que ∆ABC forma un ángulo recto al demostrar que AB y BC son perpendiculares , es decir, el producto de sus pendientes es igual a −1. Calculamos las pendientes para AB y BC :
y
Luego mostramos que su producto es igual a -1:
Tenga en cuenta el uso de la identidad trigonométrica pitagórica .
Tercera prueba
Dejar ser un triángulo en un círculo donde es un diámetro en ese círculo. Luego construye un nuevo triángulo reflejando el triángulo sobre la linea y luego reflejándolo de nuevo sobre la línea perpendicular a que pasa por el centro del círculo. Desde lineas y son paralelos , igualmente para y , el cuadrilátero es un paralelogramo . Desde lineas y son ambos diámetros del círculo y, por lo tanto, tienen la misma longitud, el paralelogramo debe ser un rectángulo. Todos los ángulos de un rectángulo son ángulos rectos.
Conversar
Para cualquier triángulo y, en particular, cualquier triángulo rectángulo, hay exactamente un círculo que contiene los tres vértices del triángulo. ( Bosquejo de la prueba . El lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos puntos dados es una línea recta que se llama la bisectriz perpendicular del segmento de línea que conecta los puntos. Las bisectrices perpendiculares de dos lados cualesquiera de un triángulo se intersecan exactamente en un punto. Este punto debe ser equidistante de los vértices del triángulo.) Este círculo se llama circuncírculo del triángulo.
Una forma de formular el teorema de Tales es: si el centro de la circunferencia de un triángulo se encuentra en el triángulo, entonces el triángulo es recto y el centro de su circunferencia se encuentra en su hipotenusa.
La inversa del teorema de Tales es entonces: el centro de la circunferencia de un triángulo rectángulo se encuentra en su hipotenusa. (De manera equivalente, la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el diámetro de su circunferencia).
Prueba de lo contrario usando geometría
Esta prueba consiste en 'completar' el triángulo rectángulo para formar un rectángulo y notar que el centro de ese rectángulo es equidistante de los vértices y también lo es el centro del círculo circunscriptor del triángulo original, utiliza dos hechos:
- Los ángulos adyacentes en un paralelogramo son suplementarios (se suman a 180 ° ) y,
- las diagonales de un rectángulo son iguales y se cruzan en su punto medio.
Sea un ángulo recto ∠ABC, una recta paralela a BC que pasa por A y una recta paralela a AB que pasa por C. Sea D el punto de intersección de las rectas rys (Nótese que no se ha demostrado que D miente en el círculo)
El cuadrilátero ABCD forma un paralelogramo por construcción (ya que los lados opuestos son paralelos). Dado que en un paralelogramo los ángulos adyacentes son suplementarios (suman 180 °) y ∠ABC es un ángulo recto (90 °), entonces los ángulos ∠BAD, ∠BCD y ∠ADC también son rectos (90 °); en consecuencia, ABCD es un rectángulo.
Sea O el punto de intersección de las diagonales AC y BD . Entonces el punto O, por el segundo hecho anterior, es equidistante de A, B y C. Y entonces O es el centro del círculo circunscriptor, y la hipotenusa del triángulo ( AC ) es un diámetro del círculo.
Prueba alternativa de lo contrario usando geometría
Dado un triángulo rectángulo ABC con hipotenusa AC , construya un círculo Ω cuyo diámetro sea AC . Sea O el centro de Ω. Sea D la intersección de Ω y el rayo OB . Según el teorema de Thales, ∠ ADC es correcto. Pero entonces D debe ser igual a B . (Si D se encuentra dentro de ∆ ABC , ∠ ADC sería obtuso, y si D se encuentra fuera de ∆ ABC , ∠ ADC sería agudo).
Prueba de lo contrario usando álgebra lineal
Esta prueba utiliza dos hechos:
- dos líneas forman un ángulo recto si y solo si el producto escalar de sus vectores direccionales es cero, y
- el cuadrado de la longitud de un vector viene dado por el producto escalar del vector consigo mismo.
Sea un ángulo recto ∠ABC y circule M con AC como diámetro. Deje que el centro de M se encuentre en el origen, para facilitar el cálculo. Entonces sabemos
- A = - C, porque el círculo centrado en el origen tiene AC como diámetro, y
- (A - B) · (B - C) = 0, porque ∠ABC es un ángulo recto.
Sigue
- 0 = (A - B) · (B - C) = (A - B) · (B + A) = | A | 2 - | B | 2 .
Por eso:
- | A | = | B |.
Esto significa que A y B son equidistantes desde el origen, es decir, desde el centro de M . Dado que A se encuentra en M , también lo hace B , y el círculo M es, por lo tanto , el círculo circunferencial del triángulo.
De hecho, los cálculos anteriores establecen que ambas direcciones del teorema de Thales son válidas en cualquier espacio de producto interno .
El teorema de Thales es un caso especial del siguiente teorema:
- Dados tres puntos A, B y C en un círculo con centro O, el ángulo ∠AOC es dos veces más grande que el ángulo ∠ABC.
Ver ángulo inscrito , la prueba de este teorema es bastante similar a la prueba del teorema de Thales dada anteriormente.
Un resultado relacionado con el teorema de Thales es el siguiente:
- Si AC es el diámetro de un círculo, entonces:
- Si B está dentro del círculo, entonces ∠ABC> 90 °
- Si B está en el círculo, entonces ∠ABC = 90 °
- Si B está fuera del círculo, entonces ∠ABC <90 °.
Solicitud
El teorema de Thales se puede utilizar para construir la tangente a un círculo dado que pasa por un punto dado. En la figura de la derecha, dado el círculo k con centro O y el punto P fuera de k , bisecar OP en H y dibujar el círculo de radio OH con centro H. OP es un diámetro de este círculo, por lo que los triángulos que conectan OP con los puntos T y T ′ donde los círculos se cruzan son ambos triángulos rectángulos.
El teorema de Thales también se puede usar para encontrar el centro de un círculo usando un objeto con un ángulo recto, como un cuadrado o una hoja de papel rectangular más grande que el círculo. [6] El ángulo se coloca en cualquier parte de su circunferencia (figura 1). Las intersecciones de los dos lados con la circunferencia definen un diámetro (figura 2). Repetir esto con un conjunto diferente de intersecciones produce otro diámetro (figura 3). El centro está en la intersección de los diámetros.
Ver también
- Geometría sintética
- Teorema de Pitágoras inverso
Notas
- ^ Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los elementos de Euclides . Nueva York, NY [ua]: Dover Publ. pag. 61 . ISBN 0486600890.
- ^ Allen, G. Donald (2000). "Tales de Mileto" (PDF) . Consultado el 12 de febrero de 2012 .
- ^ Patronis, T .; Patsopoulos, D. El teorema de Tales: un estudio de la denominación de teoremas en los libros de texto escolares de geometría . Universidad de Patras . Consultado el 12 de febrero de 2012 .
- ↑ de Laet, Siegfried J. (1996). Historia de la Humanidad: Desarrollo científico y cultural . UNESCO , Volumen 3, pág. 14. ISBN 92-3-102812-X
- ^ Boyer, Carl B. y Merzbach, Uta C. (2010). Una historia de las matemáticas . John Wiley and Sons, Capítulo IV. ISBN 0-470-63056-6
- ^ Recursos para la enseñanza de las matemáticas: 14-16 Colin Foster
Referencias
- Agricola, Ilka ; Friedrich, Thomas (2008). Geometría elemental . AMS. pag. 50. ISBN 978-0-8218-4347-5.( copia en línea restringida , p. 50, en Google Books )
- Heath, TL (1921). Una historia de las matemáticas griegas: de Tales a Euclides . Yo . Oxford. págs. 131ss.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Thales" . MathWorld .
- Masticando ángulos inscritos
- Teorema de Thales explicado , con animación interactiva
- Demostraciones del teorema de Thales por Michael Schreiber, The Wolfram Demonstrations Project .