En matemáticas , la prueba de comparación de límites (LCT) (en contraste con la prueba de comparación directa relacionada ) es un método para probar la convergencia de una serie infinita .
Declaración
Supongamos que tenemos dos series y con para todos .
Entonces sí con , entonces ambas series convergen o ambas series divergen. [1]
Prueba
Porque sabemos que para todos hay un entero positivo tal que para todos tenemos eso , o equivalente
Como podemos elegir ser lo suficientemente pequeño como para es positivo. Entoncesy por la prueba de comparación directa , si converge entonces también lo hace .
similar , Así que si diverge, de nuevo por la prueba de comparación directa, también lo hace .
Es decir, ambas series convergen o ambas series divergen.
Ejemplo
Queremos determinar si la serie converge. Para esto comparamos con la serie convergente.
Como tenemos que la serie original también converge.
Versión unilateral
Se puede establecer una prueba de comparación unilateral utilizando límite superior . Dejar para todos . Entonces sí con y converge, necesariamente converge.
Ejemplo
Dejar y para todos los números naturales . Ahorano existe, por lo que no podemos aplicar la prueba de comparación estándar. Sin embargo, y desde converge, la prueba de comparación unilateral implica que converge.
Inversa de la prueba de comparación unilateral
Dejar para todos . Si diverge y converge, entonces necesariamente , es decir, . El contenido esencial aquí es que, en cierto sentido, los números son más grandes que los números .
Ejemplo
Dejar ser analítico en el disco de la unidad y tener imagen de área finita. Por la fórmula de Parseval el área de la imagen de es . Es más,diverge. Por lo tanto, por el contrario de la prueba de comparación, tenemos, es decir, .
Ver también
Referencias
- ^ Swokowski, Earl (1983), Cálculo con geometría analítica (Ed. Alternativa), Prindle, Weber & Schmidt, p. 516 , ISBN 0-87150-341-7
Otras lecturas
- Rinaldo B. Schinazi: del cálculo al análisis . Springer, 2011, ISBN 9780817682897 , pp. 50
- Michele Longo y Vincenzo Valori: la prueba de comparación: no solo para series no negativas . Revista de matemáticas, vol. 79, núm. 3 (junio de 2006), págs. 205–210 ( JSTOR )
- J. Marshall Ash: La prueba de comparación de límites necesita positividad . Revista de matemáticas, vol. 85, núm. 5 (diciembre de 2012), págs. 374–375 ( JSTOR )