La identidad de Parseval

---

En el análisis matemático , la identidad de Parseval , que lleva el nombre de Marc-Antoine Parseval , es un resultado fundamental de la sumabilidad de la serie de Fourier de una función. Geométricamente, es un teorema de Pitágoras generalizado para espacios de productos internos (que pueden tener una infinidad incontable de vectores base).

De manera informal, la identidad afirma que la suma de los cuadrados de los coeficientes de Fourier de una función es igual a la integral del cuadrado de la función,

Más formalmente, el resultado se cumple como se establece siempre que sea ​​una función integrable al cuadrado o, más generalmente, en el espacio Lp.Un resultado similar es el teorema de Plancherel , que afirma que la integral del cuadrado de la transformada de Fourier de una función es igual a la integral del cuadrado de la función en sí. En una dimensión, para${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle L ^ {2} [- \ pi, \ pi].}$${\ Displaystyle f \ in L ^ {2} (\ mathbb {R}),}$

La identidad está relacionada con el teorema de Pitágoras en el escenario más general de un espacio de Hilbert separable como sigue. Suponga que es un espacio de Hilbert con producto interno. Sea una base ortonormal de ; es decir, la envolvente lineal de la es densa en y la son mutuamente ortonormal:${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle \ langle \, \ cdot \ ,, \, \ cdot \, \ rangle.}$${\ Displaystyle \ left (e_ {n} \ right)}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle e_ {n}}$${\ Displaystyle H,}$${\ Displaystyle e_ {n}}$

Entonces, la identidad de Parseval afirma que para cada ${\ Displaystyle x \ in H,}$

Esto es directamente análogo al teorema de Pitágoras , que afirma que la suma de los cuadrados de los componentes de un vector en una base ortonormal es igual a la longitud al cuadrado del vector. Uno puede recuperar la versión de la serie de Fourier de la identidad de Parseval dejando ser el espacio de Hilbert y el escenario para${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle L ^ {2} [- \ pi, \ pi],}$${\ Displaystyle e_ {n} = e ^ {- inx}}$${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {Z}.}$

---