En matemáticas , las pruebas de convergencia son métodos de prueba de convergencia , convergencia condicional , convergencia absoluta , intervalo de convergencia o divergencia de una serie infinita. .
Lista de pruebas
Límite de la suma
Si el límite del sumando es indefinido o distinto de cero, eso es , entonces la serie debe divergir. En este sentido, las sumas parciales son de Cauchy solo si este límite existe y es igual a cero. La prueba no es concluyente si el límite del sumando es cero. Esto también se conoce como prueba de enésimo término.
Prueba de razón
Esto también se conoce como criterio de d'Alembert .
- Supongamos que existe tal que
- Si r <1, entonces la serie es absolutamente convergente. Si r > 1, entonces la serie diverge. Si r = 1, la prueba de razón no es concluyente y la serie puede converger o divergir.
Prueba de raíz
Esto también se conoce como el n º prueba de raíz o criterio de Cauchy .
- Dejar
- dónde denota el límite superior (posiblemente ; si existe el límite es el mismo valor).
- Si r <1, entonces la serie converge. Si r > 1, entonces la serie diverge. Si r = 1, la prueba de la raíz no es concluyente y la serie puede converger o divergir.
La prueba de la raíz es más fuerte que la prueba de la razón: siempre que la prueba de la razón determina la convergencia o divergencia de una serie infinita, la prueba de la raíz también lo hace, pero no a la inversa. [1] Por ejemplo, para la serie
- 1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ... = 4,
la convergencia se deriva de la prueba de la raíz, pero no de la prueba de la razón. [ cita requerida ]
Prueba integral
La serie se puede comparar con una integral para establecer convergencia o divergencia. Dejarser una función no negativa y monótonamente decreciente tal que. Si
prueba de la serie p
Un corolario de uso común de la prueba integral es la prueba de la serie p. Dejar. Luego converge si .
El caso de produce la serie armónica, que diverge. El caso dees el problema de Basilea y la serie converge a. En general, para, la serie es igual a la función zeta de Riemann aplicada a, es decir .
Prueba de comparación directa
Si la serie es una serie absolutamente convergente ypara n suficientemente grande , entonces la serie converge absolutamente.
Prueba de comparación de límites
Si , (es decir, cada elemento de las dos secuencias es positivo) y el límite existe, es finito y distinto de cero, entonces diverge si y solo si diverge.
Prueba de condensación de Cauchy
Dejar ser una secuencia positiva no creciente. Entonces la sumaconverge si y solo si la sumaconverge. Además, si convergen, entonces sostiene.
Prueba de Abel
Suponga que las siguientes afirmaciones son verdaderas:
- es una serie convergente,
- es una secuencia monótona, y
- está ligado.
Luego también es convergente.
Prueba de convergencia absoluta
Toda serie absolutamente convergente converge.
Prueba de series alternas
Suponga que las siguientes afirmaciones son verdaderas:
- y
- por cada n ,.
Luego y son series convergentes. Esta prueba también se conoce como criterio de Leibniz .
Prueba de Dirichlet
Si es una secuencia de números reales yuna secuencia de números complejos que satisfacen
- por cada entero positivo N
donde M es una constante, entonces la serie
converge.
Prueba de Raabe-Duhamel
Dejar .
Definir
Si
existe hay tres posibilidades:
- si L > 1 la serie converge
- si L <1 la serie diverge
- y si L = 1, la prueba no es concluyente.
Una formulación alternativa de esta prueba es la siguiente. Sea { a n } una serie de números reales. Entonces, si b > 1 y K (un número natural) existen tales que
para todo n > K entonces la serie { a n } es convergente.
Prueba de Bertrand
Sea { a n } una secuencia de números positivos.
Definir
Si
existe, hay tres posibilidades: [2] [3]
- si L > 1 la serie converge
- si L <1 la serie diverge
- y si L = 1, la prueba no es concluyente.
Prueba de Gauss
Sea { a n } una secuencia de números positivos. Si para algunos β> 1, entonces converge si α> 1 y diverge si α ≤ 1 . [4]
Notas
- Para algunos tipos específicos de series existen pruebas de convergencia más especializadas, por ejemplo, para las series de Fourier existe la prueba de Dini .
Ejemplos de
Considere la serie
( i )
La prueba de condensación de Cauchy implica que ( i ) es finitamente convergente si
( ii )
es finitamente convergente. Desde
( ii ) es una serie geométrica con razón. ( ii ) es finitamente convergente si su razón es menor que uno (es decir). Por tanto, ( i ) es finitamente convergente si y solo si .
Convergencia de productos
Si bien la mayoría de las pruebas tratan con la convergencia de series infinitas, también se pueden usar para mostrar la convergencia o divergencia de productos infinitos . Esto se puede lograr usando el siguiente teorema: Seaser una secuencia de números positivos. Entonces el producto infinitoconverge si y solo si la serieconverge. También de manera similar, si aguanta, entonces se acerca a un límite distinto de cero si y solo si la serie converge.
Esto se puede demostrar tomando el logaritmo del producto y usando la prueba de comparación de límites. [5]
Ver también
- Regla de L'Hôpital
- Regla de cambio
Referencias
- ^ Wachsmuth, Bert G. "MathCS.org - Análisis real: prueba de relación" . www.mathcs.org .
- ^ František Ďuriš, Serie infinita: pruebas de convergencia , págs. 24–9. Tesis de licenciatura.
- ^ Weisstein, Eric W. "Prueba de Bertrand" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 16 de abril de 2020 .
- ^ * "Criterio de Gauss" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ Belk, Jim (26 de enero de 2008). "Convergencia de productos infinitos" .
Otras lecturas
- Leithold, Louis (1972). El cálculo, con geometría analítica (2ª ed.). Nueva York: Harper & Row. págs. 655–737. ISBN 0-06-043959-9.
enlaces externos
- Diagrama de flujo para elegir la prueba de convergencia