En matemáticas , la prueba de comparación , a veces llamada prueba de comparación directa para distinguirla de pruebas relacionadas similares (especialmente la prueba de comparación de límites ), proporciona una forma de deducir la convergencia o divergencia de una serie infinita o una integral impropia . En ambos casos, la prueba funciona comparando la serie dada o integral con una cuyas propiedades de convergencia son conocidas.
Para la serie
En cálculo , la prueba de comparación para series generalmente consiste en un par de afirmaciones sobre series infinitas con términos no negativos ( valores reales ): [1]
- Si la serie infinita converge y para todo n suficientemente grande (es decir, para todopara algún valor fijo N ), entonces la serie infinita también converge.
- Si la serie infinita diverge y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita también diverge.
Tenga en cuenta que a veces se dice que la serie que tiene términos más grandes domina (o eventualmente domina ) la serie con términos más pequeños. [2]
Alternativamente, la prueba puede expresarse en términos de convergencia absoluta , en cuyo caso también se aplica a series con términos complejos : [3]
- Si la serie infinita es absolutamente convergente y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita también es absolutamente convergente.
- Si la serie infinita no es absolutamente convergente y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita tampoco es absolutamente convergente.
Tenga en cuenta que en esta última declaración, la serie todavía podría ser condicionalmente convergente ; para series de valor real, esto podría suceder si las a n no son todas no negativas.
El segundo par de declaraciones son equivalentes al primero en el caso de series de valor real porque converge absolutamente si y solo si , una serie con términos no negativos, converge.
Prueba
Las pruebas de todas las declaraciones dadas anteriormente son similares. Aquí hay una prueba de la tercera declaración.
Dejar y ser una serie infinita tal que converge absolutamente (así converge), y sin pérdida de generalidad asumir quepara todos los enteros positivos n . Considere las sumas parciales
Desde converge absolutamente, por algún número real t . Para todos los n ,
es una secuencia no decreciente y no aumenta. Dado entonces ambos pertenecen al intervalo , cuya longitud disminuye a cero a medida que va al infinito. Esto muestra quees una secuencia de Cauchy , por lo que debe converger hasta un límite. Por lo tanto, es absolutamente convergente.
Para integrales
La prueba de comparación para integrales se puede establecer de la siguiente manera, asumiendo funciones continuas de valor real f y g encon b ya seao un número real en el que f y g tienen una asíntota vertical: [4]
- Si la integral incorrecta converge y por , entonces la integral impropia también converge con
- Si la integral incorrecta diverge y por , entonces la integral impropia también diverge.
Prueba de comparación de proporciones
Otra prueba para la convergencia de series con valores reales, similar tanto a la prueba de comparación directa anterior como a la prueba de razón , se llama prueba de comparación de razón : [5]
- Si la serie infinita converge y , , y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita también converge.
- Si la serie infinita diverge y , , y para todo n suficientemente grande , entonces la serie infinita también diverge.
Ver también
Notas
Referencias
- Ayres, Frank Jr .; Mendelson, Elliott (1999). Esquema de cálculo de Schaum (4ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-041973-6.
- Buck, R. Creighton (1965). Cálculo avanzado (2ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill.
- Knopp, Konrad (1956). Secuencias y series infinitas . Nueva York: Publicaciones de Dover. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6.
- Munem, MA; Foulis, DJ (1984). Cálculo con geometría analítica (2ª ed.). Digno de los editores. ISBN 0-87901-236-6.
- Silverman, Herb (1975). Variables complejas . Compañía Houghton Mifflin. ISBN 0-395-18582-3.
- Whittaker, ET ; Watson, GN (1963). Un curso de análisis moderno (4ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3.