En el área matemática de la teoría del orden , a menudo se habla de funciones que conservan ciertos límites, es decir, cierta suprema o infima . En términos generales, estas funciones asignan el supremo/ínfimo de un conjunto al supremo/ínfimo de la imagen del conjunto. Dependiendo del tipo de conjuntos para los que una función satisfaga esta propiedad, puede conservar supremas o infimas finitas, dirigidas, no vacías o simplemente arbitrarias. Cada uno de estos requisitos aparece de forma natural y frecuente en muchas áreas de la teoría del orden y existen varias relaciones importantes entre estos conceptos y otras nociones como la monotonicidad.. Si se invierte la implicación de la preservación del límite, de modo que la existencia de límites en el rango de una función implica la existencia de límites en el dominio, entonces se obtienen funciones que reflejan el límite .
El propósito de este artículo es aclarar la definición de estos conceptos básicos, lo cual es necesario ya que la literatura no siempre es consistente en este punto, y dar resultados generales y explicaciones sobre estos temas.
En muchas áreas especializadas de la teoría del orden, uno se restringe a clases de conjuntos parcialmente ordenados que están completos con respecto a ciertas construcciones límite. Por ejemplo, en la teoría de la red , uno está interesado en los órdenes en los que todos los conjuntos finitos no vacíos tienen un límite superior mínimo y un límite inferior máximo. En la teoría del dominio , por otro lado, uno se enfoca en conjuntos parcialmente ordenados en los que cada subconjunto dirigido tiene un supremo. Los retículos y órdenes completos con un elemento mínimo (el "supremo vacío") proporcionan más ejemplos.
En todos estos casos, los límites juegan un papel central para las teorías, apoyados en sus interpretaciones en aplicaciones prácticas de cada disciplina. Uno también está interesado en especificar asignaciones apropiadas entre tales órdenes. Desde un punto de vista algebraico , esto significa que uno quiere encontrar nociones adecuadas de homomorfismos para las estructuras bajo consideración. Esto se logra considerando aquellas funciones que sean compatibles con las construcciones propias de los respectivos órdenes. Por ejemplo, los homomorfismos reticulares son aquellas funciones que conservansuprema e infima finitas no vacías, es decir, la imagen de un supremum/infimum de dos elementos es sólo el supremum/infimum de sus imágenes. En la teoría del dominio, a menudo se trata de las llamadas funciones continuas de Scott que conservan todas las supremas dirigidas.
Los antecedentes de las definiciones y la terminología que se dan a continuación se encuentran en la teoría de categorías , donde se consideran los límites (y co-límites ) en un sentido más general. El concepto categórico de funtores que preservan el límite y reflejan el límite está en completa armonía con la teoría del orden, ya que los órdenes pueden considerarse como pequeñas categorías definidas como categorías poset con una estructura adicional definida.
Considere dos conjuntos P y Q parcialmente ordenados , y una función f de P a Q. Además, sea S un subconjunto de P que tiene un límite superior mínimo s . Entonces f conserva el supremo de S si el conjunto f ( S ) = { f ( x ) | x en S } tiene un límite superior mínimo en Q que es igual a f ( s ), es decir