En matemáticas , un conjunto dirigido (o un preorden dirigido o un conjunto filtrado ) es un conjunto no vacío junto con una relación binaria reflexiva y transitiva (es decir, un preorden ), con la propiedad adicional de que cada par de elementos tiene un límite superior . [1] En otras palabras, para cualquier y en debe existir en con y El preorden de un conjunto dirigido se llama dirección .
La noción definida anteriormente a veces se denomina conjunto dirigido hacia arriba . Un conjunto dirigido hacia abajo se define de forma análoga, [2] lo que significa que cada par de elementos está acotado por debajo. [3] Algunos autores (y este artículo) asumen que un conjunto dirigido se dirige hacia arriba, a menos que se indique lo contrario. Tenga en cuenta que otros autores llaman a un conjunto dirigido si y solo si se dirige tanto hacia arriba como hacia abajo. [4]
Los conjuntos dirigidos son una generalización de conjuntos totalmente ordenados no vacíos . Es decir, todos los conjuntos totalmente ordenados son conjuntos dirigidos (contrasta conjuntos parcialmente ordenados , que no necesitan ser dirigidos). Las semirreticulaciones de unión (que son conjuntos parcialmente ordenados) también son conjuntos dirigidos, pero no a la inversa. Asimismo, las celosías se dirigen conjuntos tanto hacia arriba como hacia abajo.
En topología , los conjuntos dirigidos se utilizan para definir redes , que generalizan secuencias y unen las diversas nociones de límite utilizadas en el análisis . Los conjuntos dirigidos también dan lugar a límites directos en el álgebra abstracta y (más generalmente) en la teoría de categorías .
Definición equivalente
Además de la definición anterior, existe una definición equivalente. Un conjunto dirigido es un conjuntocon un preorden tal que cada subconjunto finito detiene un límite superior. En esta definición, la existencia de un límite superior del subconjunto vacío implica que no está vacío.
Ejemplos de
Ejemplos de conjuntos dirigidos incluyen:
- El conjunto de números naturales con el orden ordinarioes un conjunto dirigido (y también lo es todo conjunto totalmente ordenado ).
- Dejar y Ser conjuntos dirigidos. Luego, el conjunto de productos cartesianos se puede convertir en un conjunto dirigido definiendo si y solo si y En analogía con el pedido del producto, esta es la dirección del producto en el producto cartesiano.
- Se deduce del ejemplo anterior que el conjunto de pares de números naturales se puede convertir en un conjunto dirigido definiendo si y solo si y
- Si es un espacio topológico y es un punto en conjunto de todos los barrios de se puede convertir en un conjunto dirigido escribiendo si y solo si contiene Para cada y :
- desde se contiene a sí mismo.
- Si y luego y lo que implica Por lo tanto
- porque y ya que ambos y tenemos y
- Cualquier conjunto reservado tal que tiene un elemento mayor es un conjunto dirigido. Un elementose llama un elemento más grande de Si para cada
- Si es un conjunto dirigido y si es un elemento máximo de luego necesariamente tiene un elemento único más grande , y es Un elemento se llama un elemento máximo de si no existe ninguno tal que y
- Si es un número real, entonces el conjunto se puede convertir en un conjunto dirigido definiendo Si (por lo que los elementos "mayores" están más cerca de ). Entonces decimos que los reales se han dirigido hacia. Este es un ejemplo de un conjunto dirigido que no está ni parcialmente ordenado ni totalmente ordenado . Esto se debe a que la antisimetría se descompone para cada par. y equidistante de dónde y están en lados opuestos de Explícitamente, esto sucede cuando para algunos reales en ese caso y aunque ¿Se había definido este pedido anticipado en en vez de entonces todavía formaría un conjunto dirigido pero ahora tendría un elemento más grande (único), específicamente ; sin embargo, todavía no se pediría parcialmente. Este ejemplo se puede generalizar a un espacio métrico definiendo en o el preorder si y solo si
- Un ejemplo (trivial) de un conjunto parcialmente ordenado que no está dirigido es el conjunto}, en el que las únicas relaciones de orden son y Un ejemplo menos trivial es como el ejemplo anterior de los "reales dirigidos hacia "pero en el que la regla de ordenación solo se aplica a pares de elementos en el mismo lado de x 0 (es decir, si uno toma un elemento a la izquierda de y a su derecha, entonces y no son comparables, y el subconjunto no tiene límite superior).
- Una familia de conjuntos no vacía es un conjunto dirigido con respecto al preorden. (respectivamente, ) si y solo si la intersección (resp., unión) de dos de sus miembros contiene como subconjunto (resp., está contenido como subconjunto de) algún tercer miembro. En símbolos, una familia de conjuntos se dirige con respecto a (respectivamente, ) si y solo si
- para todos existe algo } tal que y (resp., y )
- para todos existe algo } tal que (resp. ).
- Por definición, un prefiltro o base de filtro es una familia de conjuntos no vacíos que es un conjunto dirigido con respecto al orden parcial. y que tampoco contiene el conjunto vacío (esta condición evita la trivialidad porque de lo contrario, el conjunto vacío sería entonces un elemento mayor con respecto a).
- En un poset cada cierre inferior de un elemento, es decir, cada subconjunto del formulario dónde es un elemento fijo de está dirigido.
Contraste con semirretillas
Los conjuntos dirigidos son un concepto más general que (unir) semirreticulados: cada semirretículo de unión es un conjunto dirigido, ya que la unión o el límite superior mínimo de dos elementos es el deseado.Sin embargo, lo contrario no se cumple, observe el conjunto dirigido {1000,0001,1101,1011,1111} ordenado bit a bit (p. Ej. aguanta, pero no, ya que en el último bit 1> 0), donde {1000,0001} tiene tres límites superiores pero no menos límite superior, cf. imagen. (Tenga en cuenta también que sin 1111, el conjunto no está dirigido).
Subconjuntos dirigidos
No se requiere que la relación de orden en un conjunto dirigido sea antisimétrica y, por lo tanto, los conjuntos dirigidos no siempre son órdenes parciales . Sin embargo, el término conjunto dirigido también se usa con frecuencia en el contexto de posets. En este entorno, un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado se llama subconjunto dirigido si es un conjunto dirigido de acuerdo con el mismo orden parcial: en otras palabras, no es el conjunto vacío , y cada par de elementos tiene un límite superior. Aquí la relación de orden en los elementos de es heredado de ; por esta razón, no es necesario exigir explícitamente la reflexividad y la transitividad.
No es necesario que un subconjunto dirigido de un poset esté cerrado hacia abajo ; un subconjunto de un poset se dirige si y solo si su cierre descendente es un ideal . Si bien la definición de un conjunto dirigido es para un conjunto "dirigido hacia arriba" (cada par de elementos tiene un límite superior), también es posible definir un conjunto dirigido hacia abajo en el que cada par de elementos tiene un límite inferior común. Un subconjunto de un poset está dirigido hacia abajo si y solo si su cierre superior es un filtro .
Los subconjuntos dirigidos se utilizan en la teoría de dominios , que estudia órdenes parciales completos dirigidos . [5] Estos son posets en los que se requiere que cada conjunto dirigido hacia arriba tenga un límite superior mínimo . En este contexto, los subconjuntos dirigidos proporcionan nuevamente una generalización de secuencias convergentes. [ se necesita más explicación ]
Ver también
- Conjunto centrado - teoría del orden
- Categoría filtrada
- Conjunto vinculado
- Net (matemáticas) : generalización de una secuencia de puntos
Notas
- ^ Kelley, pág. sesenta y cinco.
- ^ Robert S. Borden (1988). Un curso de cálculo avanzado . Corporación de mensajería. pag. 20. ISBN 978-0-486-15038-3.
- ^ Arlen Brown; Carl Pearcy (1995). Introducción al análisis . Saltador. pag. 13 . ISBN 978-1-4612-0787-0.
- ^ Siegfried Carl; Seppo Heikkilä (2010). Teoría del punto fijo en conjuntos ordenados y aplicaciones: de las ecuaciones diferenciales e integrales a la teoría de juegos . Saltador. pag. 77. ISBN 978-1-4419-7585-0.
- ^ Gierz, pág. 2.
Referencias
- JL Kelley (1955), Topología general .
- Gierz, Hofmann, Keimel y col. (2003), Continuous Lattices and Domains , Cambridge University Press. ISBN 0-521-80338-1 .