Integral de línea

En matemáticas , una integral de línea es una integral en la que la función a integrar se evalúa a lo largo de una curva . ^[1] También se utilizan los términos integral de trayectoria , integral de curva e integral curvilínea ; También se utiliza la integral de contorno , aunque normalmente se reserva para integrales de línea en el plano complejo .

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial . El valor de la integral de línea es la suma de los valores del campo en todos los puntos de la curva, ponderado por alguna función escalar en la curva (comúnmente longitud de arco o, para un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial con un diferencial vector en la curva). Esta ponderación distingue la integral de línea de las integrales más simples definidas en intervalos . Muchas fórmulas simples en física, como la definición de trabajo como , tienen análogos continuos naturales en términos de integrales de línea, en este caso , que calcula el trabajo${\ Displaystyle W = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {s}}$${\ Displaystyle \ textstyle W = \ int _ {L} \ mathbf {F} (\ mathbf {s}) \ cdot d \ mathbf {s}}$realizado en un objeto que se mueve a través de un campo eléctrico o gravitacional F a lo largo de una trayectoria .${\ Displaystyle L}$

En términos cualitativos, una integral de línea en el cálculo vectorial se puede considerar como una medida del efecto total de un campo tensorial dado a lo largo de una curva dada. Por ejemplo, la integral de línea sobre un campo escalar (tensor de rango 0) se puede interpretar como el área debajo del campo tallada por una curva particular. Esto se puede visualizar como la superficie creada por z = f ( x , y ) y una curva C en el plano xy . La integral de línea de f sería el área de la "cortina" creada, cuando los puntos de la superficie que están directamente sobre C están tallados.

Para algún campo escalar donde , la línea integral a lo largo de una curva suave a trozos se define como${\ Displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} \ subconjunto U}$

donde es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva tal que r ( a ) y r ( b ) dan los puntos finales de y a < b . Aquí, y en el resto del artículo, las barras de valor absoluto denotan la norma estándar (euclidiana) de un vector.${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ colon [a, b] \ to {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$

La integral de línea sobre un campo escalar f se puede considerar como el área bajo la curva C a lo largo de una superficie z = f ( x , y ), descrita por el campo.

La trayectoria de una partícula (en rojo) a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. A partir de una , la partícula traza el camino C a lo largo del campo vectorial F . El producto escalar (línea verde) de su vector tangente (flecha roja) y el vector de campo (flecha azul) define un área debajo de una curva, que es equivalente a la integral de línea de la ruta. (Haga clic en la imagen para obtener una descripción detallada).