En matemáticas , geometría y topología es un término general para las disciplinas históricamente distintas de geometría y topología , ya que los marcos generales permiten que ambas disciplinas se manipulen de manera uniforme, más visiblemente en teoremas locales a globales en la geometría de Riemann, y resultados como el teorema de Gauss-Bonnet y teoría de Chern-Weil .
Sin embargo, se pueden establecer distinciones claras entre geometría y topología, como se explica a continuación. [ aclaración necesaria ]
También es el título de una revista Geometry & Topology que cubre estos temas.
Alcance
Es distinto de la "topología geométrica", que más concretamente implica aplicaciones de la topología a la geometría.
Incluye:
- Topología y geometría diferencial
- Topología geométrica (incluida la topología de baja dimensión y la teoría de la cirugía )
No incluye partes de la topología algebraica como la teoría de la homotopía , pero algunas áreas de la geometría y la topología (como la teoría de la cirugía, en particular la teoría de la cirugía algebraica ) son muy algebraicas.
Distinción entre geometría y topología
La geometría tiene una estructura local (o infinitesimal ), mientras que la topología solo tiene una estructura global . Alternativamente, la geometría tiene módulos continuos , mientras que la topología tiene módulos discretos .
Por ejemplo, un ejemplo de geometría es la geometría de Riemann , mientras que un ejemplo de topología es la teoría de la homotopía . El estudio de los espacios métricos es geometría, el estudio de los espacios topológicos es topología.
Los términos no se usan de manera completamente consistente: las variedades simplécticas son un caso límite y la geometría aproximada es global, no local.
Estructura local versus global
Por definición, las variedades diferenciables de una dimensión fija son todas localmente difeomórficas al espacio euclidiano , por lo que, aparte de la dimensión, no hay invariantes locales. Por tanto, las estructuras diferenciables en una variedad son de naturaleza topológica.
Por el contrario, la curvatura de una variedad de Riemann es un invariante local (de hecho, infinitesimal) [se necesita aclaración ] (y es el único invariante local bajo isometría ).
Moduli
Si una estructura tiene módulos discretos (si no tiene deformaciones , o si una deformación de una estructura es isomorfa a la estructura original), se dice que la estructura es rígida y su estudio (si es una estructura geométrica o topológica) es topología. Si tiene deformaciones no triviales, se dice que la estructura es flexible y su estudio es la geometría.
El espacio de clases de homotopía de mapas es discreto, [a] por lo que estudiar mapas hasta la homotopía es topología. Del mismo modo, las estructuras diferenciables en un colector es generalmente un espacio discreto, y por lo tanto un ejemplo de topología, pero exótico R 4 s tienen módulos continuos de estructuras diferenciables.
Las variedades algebraicas tienen espacios de módulos continuos , por lo que su estudio es la geometría algebraica . Estos son espacios de módulos de dimensión finita.
El espacio de la métrica de Riemann en una variedad diferenciable dada es un espacio de dimensión infinita.
Variedades simplécticas
Las variedades simplécticas son un caso límite, y partes de su estudio se denominan topología simpléctica y geometría simpléctica .
Según el teorema de Darboux , una variedad simpléctica no tiene estructura local, lo que sugiere que su estudio se llame topología.
Por el contrario, el espacio de estructuras simplécticas en una variedad forma un módulo continuo, lo que sugiere que su estudio se llame geometría.
Sin embargo, hasta la isotopía , el espacio de las estructuras simplécticas es discreto (cualquier familia de estructuras simplécticas es isotópica). [1]
Notas
- ^ Dadas las condiciones de conjunto de puntos, que se satisfacen para múltiples; más generalmente, las clases de homotopía forman unespacio totalmente desconectado pero no necesariamente discreto; por ejemplo, el grupo fundamental del pendiente hawaiano . [ cita requerida ]
Referencias
- ^ Introducción a los grupos de mentiras y la geometría simpléctica , por Robert Bryant , p. 103-104