teorema de Baker

En la teoría de números trascendentales , una disciplina matemática, el teorema de Baker da un límite inferior para el valor absoluto de las combinaciones lineales de logaritmos de números algebraicos . El resultado, probado por Alan Baker ( 1966 , 1967a , 1967b ), incluía muchos resultados anteriores en la teoría de números trascendentales y resolvía un problema planteado por Alexander Gelfond casi quince años antes. ^[1] Baker usó esto para demostrar la trascendencia de muchos números, para derivar límites efectivos para las soluciones de algunas ecuaciones diofánticas y para resolver el problema del número de clase .de encontrar todos los campos cuadráticos imaginarios con el número de clase 1.

Para simplificar la notación, sea el conjunto de logaritmos en base e de números algebraicos distintos de cero , es decir ${\ estilo de visualización \ mathbb {L}}$

donde denota el conjunto de números complejos y denota los números algebraicos (la terminación algebraica de los números racionales ). Usando esta notación, varios resultados en la teoría de números trascendentales se vuelven mucho más fáciles de enunciar. Por ejemplo, el teorema de Hermite-Lindemann se convierte en el enunciado de que cualquier elemento distinto de cero es trascendental. ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ ${\overline {\mathbb{Q} }}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {Q}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {L}}$

En 1934, Alexander Gelfond y Theodor Schneider demostraron de forma independiente el teorema de Gelfond-Schneider . Este resultado generalmente se expresa como: si a es algebraica y no es igual a 0 o 1, y si b es algebraica e irracional, entonces a ^b es trascendental. Tenga en cuenta que esto incluye todas las determinaciones de a ^b , que en la mayoría de los casos constituye una cantidad infinita de números. Sin embargo, de manera equivalente, dice que si son linealmente independientes sobre los números racionales, entonces son linealmente independientes sobre los números algebraicos. Entonces si y λ ₂ no es cero, entonces el cociente λ ₁ /λ ₂ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2} \ en \ mathbb {L}}$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2} \ en \ mathbb {L}}$ es un número racional o trascendental. No puede ser un número irracional algebraico como √ 2 .

Aunque probar este resultado de "independencia lineal racional implica independencia lineal algebraica" para dos elementos de fue suficiente para su resultado y el de Schneider, Gelfond sintió que era crucial extender este resultado arbitrariamente a muchos elementos de Indeed, de Gel'fond (1960 , pág. 177): ${\ estilo de visualización \ mathbb {L}}$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {L}.}$

… uno puede suponer … que el problema más apremiante en la teoría de los números trascendentales es la investigación de las medidas de trascendencia de conjuntos finitos de logaritmos de números algebraicos.