En matemáticas , la fórmula de Liouville , también conocida como la identidad de Abel-Jacobi-Liouville, es una ecuación que expresa el determinante de una solución de matriz cuadrada de un sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas en términos de la suma de los coeficientes diagonales. del sistema. La fórmula lleva el nombre del matemático francés Joseph Liouville . La fórmula de Jacobi proporciona otra representación de la misma relación matemática.
La fórmula de Liouville es una generalización de la identidad de Abel y puede usarse para demostrarlo. Dado que la fórmula de Liouville relaciona las diferentes soluciones linealmente independientes del sistema de ecuaciones diferenciales, puede ayudar a encontrar una solución de la otra (s), vea la aplicación de ejemplo a continuación.
en un intervalo I de la recta real , donde A ( x ) para x ∈ I denota una matriz cuadrada de dimensión n con entradas reales o complejas . Sea Φ una solución con valores matriciales en I , lo que significa que cada Φ ( x ) es una matriz cuadrada de dimensión n con entradas reales o complejas y la derivada satisface
denotar la traza de A ( ξ ) = ( a i , j ( ξ )) i , j ∈ {1, ..., n } , la suma de sus entradas diagonales. Si la traza de A es una función continua , entonces el determinante de Φ satisface
Este ejemplo ilustra cómo la fórmula de Liouville puede ayudar a encontrar la solución general de un sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. Considerar
es una solución con valores de matriz cuadrada de la ecuación diferencial anterior. Dado que la traza de A ( x ) es cero para todo x ∈ I , la fórmula de Liouville implica que el determinante