Nudo tórico de Lissajous

donde , y son números enteros , el desfase es un número real y el parámetro varía entre 0 y . ^[1]${\ estilo de visualización N}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización q}$ ${\ estilo de visualización \ phi}$${\ estilo de visualización t}$${\ estilo de visualización 2 \ pi}$

Porque el nudo es un nudo toroide .${\ estilo de visualización p = q}$

En forma de trenza , estos nudos se pueden definir en un toro sólido cuadrado (es decir, el cubo con la parte superior e inferior identificadas) como${\ estilo de visualización [-1,1] ^ {3}}$

Reemplazando las funciones seno y coseno en la parametrización por una onda triangular se transforma isotópicamente un nudo tórico de Lissajous en una curva de billar dentro del toro sólido. Debido a esta propiedad, los nudos tóricos de Lissajous también se denominan nudos de billar en un toro sólido. ^[2]

Los nudos tóricos de Lissajous se estudiaron por primera vez como nudos de billar y comparten muchas propiedades con los nudos de billar en un cilindro. ^[3] También ocurren en el análisis de singularidades de superficies mínimas con puntos de ramificación ^[4] y en el estudio del Problema de los tres cuerpos . ^[5]

Los nudos tóricos de Lissajous se denotan por . Para garantizar que el nudo se atraviese solo una vez en la parametrización, se necesitan las condiciones. Además, deben excluirse los valores singulares para la fase que conducen a autointersecciones.${\ Displaystyle K (N, q, p, \ phi)}$${\ estilo de visualización \ gcd (N, q) = \ gcd (N, p) = 1}$

Nudo Lissajous-tórico con parámetros 5, 6 y 22 en forma de trenza (con eje z en dirección horizontal)

Nudo tórico de Lissajous T (4,7,35) como un nudo de billar, que muestra el período 7

Simetrías del nudo Lissajous-tórico T(3,8,7): unión simétrica (eje vertical), rotación en imagen especular y propiedad palindrómica dentro de Q (eje horizontal)